"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Наименьшее общее кратное (НОК) — самое маленькое натуральное число, которое делится без остатка на каждое из нескольких данных чисел. Оно помогает находить общий знаменатель дробей и определять, когда снова совпадут повторяющиеся события. НОК можно искать перебором кратных или разложением чисел на простые множители. При разложении учитывают все множители и выбирают для каждого наибольшую степень.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Кратное натурального числа — это число, которое получается при умножении данного числа на натуральное. Например, 15 — кратное числа 5, потому что 5 · 3 = 15. У числа бесконечно много кратных: можно умножать его на 1, 2, 3 и так далее, не останавливаясь. Перечень кратных помогает искать число, подходящее сразу нескольким условиям.
Общее кратное нескольких чисел — число, которое делится без остатка на каждое из них. Например, 12 — общее кратное чисел 3 и 4, потому что 12 : 3 = 4 и 12 : 4 = 3. Не каждое кратное одного числа подходит для другого, поэтому приходится проверять оба условия. Такие числа нужны, когда требуется найти общий результат для нескольких величин.
Наименьшее общее кратное, или НОК, — наименьшее натуральное число, которое является общим кратным данных чисел. НОК двух чисел a и b обозначают НОК(a, b). Например, у 3 и 4 есть общие кратные 12, 24, 36 и другие, а наименьшее из них — 12. Выбирают именно наименьшее, чтобы получить самый простой подходящий результат.
Взаимно простые числа — это натуральные числа, общий делитель которых только 1. Например, числа 8 и 15 взаимно простые: ни одно число больше 1 не делит их оба. У таких чисел нет общих простых множителей, поэтому для НОК достаточно перемножить их. Это позволяет быстро решить некоторые задачи без полного перебора.
Чтобы найти НОК перебором, выписывают кратные каждого числа по возрастанию и ищут первое совпадение. Например, для 4 получаем 4, 8, 12, 16, а для 6 — 6, 12, 18. Первое общее число здесь 12, поэтому оно и является НОК. Такой способ нагляден: числа меньше 12 уже проверены по порядку, и ни одно из них не подходит сразу обоим числам.
Общее кратное у натуральных чисел обязательно есть, поэтому поиск НОК не может продолжаться бесконечно без результата. Например, произведение двух чисел делится на первое, потому что равно первому числу, умноженному на второе. Оно также делится на второе, так как равно второму числу, умноженному на первое. Это доказывает существование общего кратного, хотя само произведение может оказаться больше НОК.
Для больших чисел удобнее разложить каждое из них на простые множители — простые числа, произведением которых оно представляется. В разложение для НОК включают все простые множители, встречающиеся хотя бы в одном исходном числе. Если множитель повторяется, берут его с наибольшим показателем из разложений. Тогда полученное произведение содержит достаточно множителей, чтобы делиться на каждое данное число, и при этом ничего лишнего не добавляется.
Если числа взаимно простые, их разложения не содержат общих простых множителей. Поэтому произведение этих чисел уже содержит все множители, нужные для делимости на каждое из них, и меньшего подходящего произведения не получится. Например, для 8 и 15 НОК равен 8 · 15 = 120. Если же у чисел есть общий делитель больше 1, произведение всё ещё будет общим кратным, но может быть не наименьшим.
Проверка результата состоит из двух частей. Сначала делят найденное число на каждое исходное: остатка быть не должно, иначе это не общее кратное. Затем проверяют, что меньшего подходящего числа нет: при переборе это видно по спискам кратных, а при разложении — по выбранным множителям и их наибольшим степеням. Так можно убедиться не только в делимости, но и в том, что найден именно НОК.
| Способ или случай | Как действовать | Когда удобно применять | Проверка или результат |
|---|---|---|---|
| Перебор кратных | Выписать кратные каждого числа по возрастанию и найти первое совпадение. | Для небольших чисел и наглядной проверки. | Первое общее число и есть НОК. |
| Разложение на простые множители | Разложить числа и взять все множители с наибольшими показателями. | Для чисел, у которых перебор получился бы длинным. | Произведение выбранных степеней делится на все исходные числа. |
| Взаимно простые числа | Перемножить числа, если их общий делитель только 1. | Когда установлено, что у чисел нет общих простых множителей. | НОК равен произведению чисел. |
| Проверка найденного НОК | Разделить результат на каждое исходное число и проверить, что меньшего общего кратного нет. | После любого способа нахождения. | Все деления без остатка, меньшего подходящего числа нет. |
Выбирай способ по числам: небольшие удобно проверять перебором, а для более крупных обычно быстрее разложение. Перед применением правила о произведении убедись, что числа взаимно простые. После вычисления проверь делимость на каждое исходное число.
Нужно найти самое маленькое число, которое делится и на 4, и на 6. Выпишем кратные обоих чисел по возрастанию, чтобы не пропустить возможное меньшее совпадение. Сравним списки и остановимся на первом общем числе. Затем проверим делимость.
Ответ: НОК(4, 6) = 12.
Перебор здесь можно заменить разложением: оно показывает, какие простые множители необходимы для делимости. Разложим оба числа и сравним множители, включая те, которые есть только в одном из чисел. Для каждого простого множителя возьмём наибольшую степень. Их произведение будет наименьшим числом, в котором хватает множителей для обоих делений.
Ответ: НОК(18, 30) = 90.
Первый автобус отправляется через 12, 24, 36 минут и далее, а второй — через 18, 36 минут и далее. Совпадение отправлений наступит через время, которое делится без остатка на оба периода. Если взять не самое маленькое такое время, автобусы могли бы встретиться раньше. Поэтому нужно найти НОК(12, 18).
Ответ: через 36 минут.
Общее кратное иногда путают с общим делителем. При поиске кратного требуется, чтобы число делилось на каждое из данных чисел, а при поиске делителя всё наоборот: он сам делит исходные числа. Ошибка возникает из-за похожих названий. Для проверки подставь найденное число в деление на исходные числа: остаток означает, что это не общее кратное.
При разложении на простые множители можно взять только общие множители. Но НОК должен делиться на оба числа, поэтому ему нужны и множители, которые есть только в одном разложении. Например, для 18 и 30 нельзя забыть 5 из разложения числа 30. Сверь каждый простой множитель в обоих разложениях и включи его в результат, если он встретился хотя бы в одном.
Ещё одна ошибка — учитывать повторяющийся множитель с меньшей степенью. Например, 3² нужно для делимости на 18, даже если в разложении другого числа есть только 3. Такое упрощение приводит к числу, которое может не делиться на исходное. Проверь делимость результата на каждое число: если деление нацело не выполняется, множителей взяли недостаточно.
Произведение чисел всегда является общим кратным, но не всегда НОК. Если числа имеют общий делитель больше 1, в произведении некоторые множители могут повториться лишний раз. Например, произведение 4 · 6 = 24, но НОК(4, 6) = 12. Чтобы не ошибиться, проверь, взаимно ли просты числа, или найди НОК другим способом и сравни с произведением.
Для работы с НОК нужно уметь находить кратные и делители натуральных чисел, делить без остатка и раскладывать числа на простые множители. Эти умения помогают понять, почему выбранное число делится на каждое из исходных. Позже НОК пригодится при приведении дробей к общему знаменателю: общий знаменатель должен быть кратным знаменателям дробей. В задачах о повторяющихся событиях НОК периодов показывает, когда события снова совпадут.
Почему у двух чисел обязательно есть общее кратное?
Произведение двух натуральных чисел делится на каждое из них: на первое — если умножить его на второе, и наоборот. Значит, это произведение уже является общим кратным, хотя не всегда наименьшим.
Как понять, что найденное общее кратное является наименьшим?
Проверь, что число делится на каждое из исходных чисел. Затем убедись, что среди меньших чисел нет подходящего общего кратного: при переборе достаточно сравнить списки кратных до найденного числа.
Почему при разложении на множители для НОК берут наибольшие степени?
Общее кратное должно содержать каждый простой множитель в достаточном количестве, чтобы делиться на любое исходное число. Поэтому для каждого множителя выбирают наибольшую степень, встречающуюся хотя бы в одном разложении.
Когда НОК двух чисел равен их произведению?
Когда числа взаимно простые, то есть у них нет общего делителя, кроме 1. Тогда в разложениях нет общих простых множителей, и произведение содержит ровно всё необходимое для НОК.
Как отличить задачу на НОК от задачи на общий делитель?
В задаче на НОК ищут число, которое делится на каждое из данных чисел, например время следующего совпадения периодов. При поиске общего делителя, наоборот, ищут число, которое делит каждое из данных чисел.
7. Наименьшее общее кратное
