§ 6. Наименьшее общее кратное

Определения и обозначения

Кратное натурального числа — это число, которое делится на данное число без остатка. Например, 18 — кратное 6, потому что 18 : 6 = 3; кратные числа можно получить умножением исходного числа на 1, 2, 3 и так далее. Перечисление кратных помогает искать число, которое подходит сразу для нескольких условий.

Общее кратное нескольких чисел — натуральное число, которое делится без остатка на каждое из них. Например, 24 делится и на 6, и на 8, поэтому оно является их общим кратным. Такие числа нужны, когда требуется согласовать делимость сразу на несколько чисел.

Наименьшее общее кратное, сокращённо НОК, — наименьшее натуральное число, которое является общим кратным данных чисел. Например, у чисел 6 и 8 есть общие кратные 24, 48, 72 и другие, а НОК равен 24. НОК обозначают так: НОК(6, 8) = 24.

Взаимно простые числа — натуральные числа, наибольший общий делитель которых равен 1. Например, 8 и 15 взаимно просты: у них нет общего делителя, большего 1. Это свойство упрощает поиск НОК: для взаимно простых чисел достаточно перемножить их.

Как это устроено

Найти НОК двух чисел можно, выписав их кратные по порядку. Например, кратные 6 — 6, 12, 18, 24, а кратные 8 — 8, 16, 24. Первое совпадение в этих рядах — 24, значит, это НОК(6, 8). Оно наименьшее, потому что меньшие кратные одного числа не совпали с кратными другого.

Общее кратное всегда можно получить, перемножив данные числа. Произведение делится на каждый множитель: например, 6 · 8 делится и на 6, и на 8. Поэтому поиск общего кратного не может зайти в тупик, хотя произведение часто оказывается больше НОК: в нём могут повторяться множители, которые уже есть в обоих числах.

Для больших чисел удобно разложить каждое на простые множители, то есть представить его произведением простых чисел. В разложении 12 = 2² · 3, а в разложении 18 = 2 · 3². Чтобы результат делился на 12, ему нужны два множителя 2 и один множитель 3; чтобы делился на 18 — один множитель 2 и два множителя 3. Поэтому берём 2² и 3², получаем НОК(12, 18) = 2² · 3² = 36.

При взаимно простых числах общих простых множителей нет, поэтому для НОК нужны все множители обоих чисел. Так, для 8 и 15 получаем НОК = 8 · 15 = 120. Если же одно число делится на другое, большее уже делится на оба: например, 24 делится на 6, поэтому НОК(6, 24) = 24.

Перебор кратных понятен и удобен, когда числа небольшие и их кратные легко выписать. Но с ростом чисел ряд может стать длинным, и придётся проверять много вариантов. Разложение на простые множители позволяет сразу собрать нужное число из множителей, поэтому его часто выбирают для чисел со сложными разложениями.

Способы нахождения наименьшего общего кратного

Сначала проверь, не делится ли одно число на другое и не являются ли числа взаимно простыми: в этих случаях ответ находится сразу. Если простого случая нет, выбирай перебор для небольших чисел, а разложение — для чисел, которые трудно перебирать. После вычисления проверь, что результат делится на каждое исходное число.

Разбор задач

Найти НОК чисел 6 и 8, выписав их кратные до первого совпадения. Здесь удобно начать с небольших кратных и следить, какое число появится в обоих рядах первым. Сравнивать нужно именно значения, а не их порядковые номера в списках. Так можно убедиться, что найдено наименьшее общее кратное.

1. Выпишем кратные 6 по порядку: 6, 12, 18, 24. Одновременно запишем кратные 8: 8, 16, 24. Число 24 встретилось в обоих рядах.

2. Проверим, что раньше совпадения не было. Числа 6, 12 и 18 не делятся на 8, а 8 и 16 не делятся на 6. Значит, общего кратного меньше 24 нет.

Ответ: НОК(6, 8) = 24.

Найти НОК чисел 24 и 90 разложением на простые множители. Этот способ помогает не перебирать длинные ряды кратных. Для общего кратного нужно собрать множители так, чтобы полученное число делилось и на 24, и на 90. Поэтому каждую простую основу берём в наибольшей степени из двух разложений.

1. Разложим числа: 24 = 2³ · 3, а 90 = 2 · 3² · 5. Проверка умножением даёт 24 и 90 соответственно. Среди множителей встречаются простые числа 2, 3 и 5.

2. Для числа 2 выбираем степень 2³, для числа 3 — степень 3², а множитель 5 берём в первой степени, поскольку он есть только во втором разложении. Перемножаем: 2³ · 3² · 5 = 8 · 9 · 5 = 360.

3. Проверим делимость: 360 : 24 = 15, а 360 : 90 = 4. Значит, 360 — общее кратное; выбор наибольших степеней даёт наименьшее число с нужными множителями.

Ответ: НОК(24, 90) = 360.

Два сигнала срабатывают одновременно; первый повторяется каждые 18 минут, второй — каждые 30 минут. Нужно узнать, через сколько минут после общего срабатывания они снова совпадут. Повторения первого сигнала происходят через 18, 36, 54 минут и далее, а второго — через 30, 60, 90 минут и далее. Ищем наименьший промежуток, который подходит обоим рядам.

1. Переведём задачу на язык кратных: искомое время должно делиться без остатка и на 18, и на 30. Значит, нужно найти НОК(18, 30). Числа удобно разложить на простые множители.

2. Получаем 18 = 2 · 3² и 30 = 2 · 3 · 5. Берём множители в наибольших степенях: 2 · 3² · 5 = 90. Проверка: 90 : 18 = 5, а 90 : 30 = 3.

Ответ: сигналы сработают одновременно снова через 90 минут.

Типичные ошибки

При разложении иногда перемножают только общие множители. Так легко перепутать НОК с поиском общего делителя: общие множители не обеспечивают делимость на части, которые есть только в одном из чисел. Для НОК нужно включить множители из обоих разложений. Проверь результат делением на каждое исходное число.

Другая ошибка — выбрать меньшую степень простого множителя. Тогда результат может не содержать достаточно копий этого множителя, чтобы делиться на одно из чисел. Например, для разложений 2³ · 3 и 2 · 3² нельзя брать для тройки только 3¹. Сверь степени в обоих разложениях и каждый раз выбирай наибольшую.

При переборе можно принять за НОК первое совпадение, которое заметили, хотя в рядах могли пропустить более раннее. Ошибка возникает, если выписывать кратные не по порядку или проверять только часть чисел. Записывай ряды последовательно и убедись, что до совпадения других общих чисел нет. Дополнительно проверь делимость найденного числа на оба числа.

Не для любой пары чисел НОК равен их произведению. Это верно, когда числа взаимно просты; если у них есть общие множители, произведение может быть больше необходимого. Например, 6 · 8 = 48, но НОК(6, 8) = 24. Перед умножением найди общие простые множители или проверь, что НОД чисел равен 1.

Связь с другими темами

Для поиска НОК нужны деление без остатка и умение раскладывать натуральные числа на простые множители; признаки делимости помогают выполнять проверку. Позже НОК пригодится при приведении дробей к общему знаменателю, а значит, и при сложении или вычитании дробей с разными знаменателями. В задачах о повторяющихся событиях НОК показывает, через какое наименьшее время их периоды снова совпадут. Например, так можно определить, когда одновременно сработают сигналы с разными интервалами.

Что запомнить

• Общее кратное делится на каждое из данных чисел.
• НОК — наименьшее из общих кратных.
• При переборе кратных выбирают первое совпадение.
• При разложении на простые множители каждый множитель берут в наибольшей степени.
• Если одно число делится на другое, НОК равен большему числу.
• Для взаимно простых чисел НОК равен их произведению.