§ 7. Основное свойство дроби

Определения и обозначения

Дробь — запись вида a/b, где a — числитель, b — знаменатель и b ≠ 0. Она показывает, сколько равных частей взяли: целое делят на b частей, а берут a таких частей. Например, 3/5 означает три части из пяти равных частей целого. Это помогает записывать и сравнивать части величин.

Равные дроби — это дроби, которые обозначают одно и то же число, хотя их числители и знаменатели могут различаться. Например, 1/2 и 2/4 равны: обе дроби показывают половину целого. Умение узнавать такие записи помогает менять вид дроби, не меняя её значения. Это особенно полезно, когда нужно сравнить дроби или выполнить действия с ними.

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, получится дробь, равная исходной. Например, 2/3 = 4/6, потому что оба числа умножили на 2. Свойство позволяет получать удобные записи одной и той же дроби. При делении нужно, чтобы выбранное число было общим делителем числителя и знаменателя.

Сокращение дроби — это деление её числителя и знаменателя на общий делитель, отличный от нуля. Так, дробь 6/8 можно разделить сверху и снизу на 2 и получить 3/4. Значение не изменится, но запись станет проще. Сокращение помогает быстрее сравнивать дроби и видеть, нельзя ли упростить их ещё.

Как это устроено

Представь шоколадку, которую разделили на 4 равные части и взяли 3: это 3/4 шоколадки. Если каждую из четырёх частей разделить ещё на 2 равные части, частей всего станет 8, а взятых частей — 6. Получится 6/8, но количество шоколадки осталось тем же. Поэтому умножение числителя и знаменателя на одно число меняет только размер долей и число этих долей, а не взятую часть целого.

То же рассуждение можно записать правилом: a/b = (a·n)/(b·n), где n ≠ 0. Число частей целого увеличивается в n раз, и число взятых частей тоже увеличивается в n раз. Эти изменения уравновешивают друг друга, поэтому дроби равны. Например, 3/5 = (3·4)/(5·4) = 12/20.

Обратное действие — сокращение: числитель и знаменатель делят на один и тот же общий ненулевой делитель. Например, в дроби 18/24 оба числа делятся на 6, поэтому получаем 3/4. Мы объединяем мелкие доли в более крупные: 18 частей из 24 превращаются в 3 части из 4. Дробь стала короче, но показывает ту же часть целого.

Основное свойство помогает привести дроби к общему знаменателю — заменить их равными дробями с одинаковыми знаменателями. Например, для 1/2 и 1/3 можно взять знаменатель 6: получим 3/6 и 2/6. Теперь части имеют одинаковый размер, поэтому сравниваем число частей: 3/6 больше 2/6. Значит, 1/2 больше 1/3.

Нулевое число использовать нельзя. Если умножить знаменатель на 0, он станет равен нулю; делить на 0 также нельзя. Дробь со знаменателем 0 не определена, поэтому правило умножения или деления числителя и знаменателя на одно число применимо только при ненулевом множителе или делителе. Перед преобразованием всегда проверяй, что знаменатель не обращается в ноль.

Применение основного свойства дроби

Сначала определи, какое действие нужно выполнить: получить другую запись, упростить дробь или подготовить дроби к сравнению. Затем проверь, что выбранное число подходит и к числителю, и к знаменателю. После преобразования убедись, что знаменатель не равен нулю и дробь сохранила значение.

Разбор задач

Задача 1. Запишите дробь, равную 3/5, умножив её числитель и знаменатель на 4. Нужно сохранить значение дроби, поэтому применяем основное свойство и действуем одинаково с обеими частями. Число 4 ненулевое, значит, условие свойства выполнено.

1. Записываем дробь 3/5.
2. Умножаем числитель: 3·4 = 12.
3. Умножаем знаменатель: 5·4 = 20.
4. Записываем результат: 12/20.

Ответ: 12/20. Проверка: числитель и знаменатель исходной дроби умножены на одно и то же ненулевое число, значит, получена равная дробь.

Задача 2. Сократите дробь 18/24. Ищем число, на которое оба числа делятся без остатка. Общий делитель 6 подходит и даёт более простые числа, поэтому разделим на него и числитель, и знаменатель.

1. Находим общий делитель: 18 и 24 делятся на 6.
2. Делим числитель: 18 : 6 = 3.
3. Делим знаменатель: 24 : 6 = 4.
4. Записываем сокращённую дробь: 3/4.

Ответ: 3/4. Проверка: при обратном действии 3/4 превращается в 18/24, если числитель и знаменатель умножить на 6. Значит, значение дроби не изменилось.

Задача 3. Приведите дроби 5/6 и 7/9 к общему знаменателю и сравните их. Подберём число, которое делится и на 6, и на 9: подойдёт 18. Каждую дробь преобразуем так, чтобы её знаменатель стал равен 18.

1. Для 5/6 умножаем числитель и знаменатель на 3: 5/6 = 15/18.
2. Для 7/9 умножаем числитель и знаменатель на 2: 7/9 = 14/18.
3. Сравниваем числители при одинаковом знаменателе: 15 > 14.
4. Делаем вывод: 15/18 > 14/18, значит, 5/6 > 7/9.

Ответ: общий знаменатель — 18; 5/6 > 7/9. При равных знаменателях больше та дробь, у которой числитель больше: доли имеют одинаковый размер, но одной дроби таких долей больше.

Типичные ошибки

Ошибка: умножают или делят только числитель либо только знаменатель. Так меняется размер дроби, потому что равенство требует одинакового действия с обоими числами. Часто путают дробь с обычным числом, которое можно менять по частям. Проверь себя: действие должно быть записано и сверху, и снизу.

Ошибка: числитель делят на одно число, а знаменатель — на другое. Такие действия не соответствуют основному свойству, поэтому новая дробь не обязательно равна исходной. Это бывает, когда пытаются быстрее получить удобные числа. Чтобы проверить решение, сравни делители: выбранное число должно быть одним и тем же для числителя и знаменателя.

Ошибка: сокращают дробь на число, которое не является общим делителем. Тогда деление одного из чисел не даёт целого результата, и запись уже не является сокращением в обычной дроби с натуральными числителем и знаменателем. Такую ошибку допускают, проверив делимость только одного числа. Перед сокращением проверь деление обоих чисел без остатка.

Ошибка: умножают или делят числитель и знаменатель на ноль. При умножении знаменатель становится нулём, а деление на ноль вообще не выполняют. Причина — забывают условие ненулевого числа в основном свойстве. Самопроверка проста: после преобразования знаменатель обязательно должен оставаться отличным от нуля.

Связь с другими темами

Для работы с дробями нужно уметь находить числитель и знаменатель, а также делители натуральных чисел. Делимость подсказывает, на что можно сократить дробь и какое число подойдёт для общего знаменателя. Ещё нужны навыки умножения и деления натуральных чисел: без них нельзя выполнить преобразование и проверить результат.

Основное свойство используют при сравнении дробей и приведении их к общему знаменателю. Оно также помогает подготовить дроби к сложению и вычитанию, для которых нужны одинаковые знаменатели. Если дробь можно сократить, вычисления часто становятся проще.

Что запомнить

• Числитель и знаменатель дроби можно умножить на одно и то же ненулевое число.
• Числитель и знаменатель дроби можно разделить на один и тот же общий ненулевой делитель.
• При этих действиях значение дроби не меняется.
• Сокращение — это деление числителя и знаменателя на общий делитель.
• Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
• Для сравнения дробей их часто приводят к общему знаменателю.