§ 8. Сокращение дробей

Определения и обозначения

Сокращение дроби — деление её числителя и знаменателя на один и тот же общий делитель, отличный от нуля. Например, дробь 12/18 можно разделить сверху и снизу на 6. Получится равная дробь 2/3 с меньшими числами, которую удобнее использовать в вычислениях.

Сократимая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой имеют общий делитель, больший 1. Например, у дроби 12/18 таким делителем является 6. Это определение помогает понять, можно ли упростить запись дроби, не меняя её значения.

Несократимая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей, кроме 1 и −1. Например, у дроби 2/3 нет общего делителя, большего 1. Несократимая запись показывает дробь с наименьшими возможными целыми числителем и знаменателем.

Общий делитель числителя и знаменателя — число, на которое оба можно разделить без остатка. Например, для чисел 12 и 18 общими делителями являются 1, 2, 3 и 6. Поиск такого числа нужен, чтобы выполнить сокращение правильно и получить равную дробь.

Как это устроено

При сокращении значение дроби не меняется, потому что числитель и знаменатель делятся на одно и то же ненулевое число. Дробь можно представить как деление числителя на знаменатель. Если оба числа разделить, например, на 3, отношение между ними останется прежним: числитель и знаменатель уменьшатся во столько же раз.

Чтобы найти общий делитель, можно выписать делители числителя и знаменателя и выбрать число, которое встречается в обоих списках. Например, делители 12 включают 2 и 3, а делители 18 тоже включают 2 и 3. Разделив числитель и знаменатель на выбранное общее число, мы получаем дробь с меньшими числами; если общий делитель равен 1, сокращение не изменит запись.

Сокращать можно на любой общий делитель, потому что каждый такой делитель одинаково уменьшает и числитель, и знаменатель. Иногда после одного шага дробь всё ещё можно сократить: например, выбранный делитель мог быть меньше наибольшего общего делителя. Если сразу разделить на наибольший общий делитель — наибольшее число, на которое делятся оба числа, — остаточного общего делителя, большего 1, не будет.

После сокращения стоит проверить результат: поискать общий делитель числителя и знаменателя, больший 1. Если он есть, дробь можно сократить ещё раз; если нет, результат несократим. Такая проверка важна, потому что один выполненный шаг сам по себе не доказывает, что дробь уже упрощена до конца.

Если дробь отрицательная, при сокращении сохраняют её знак. Например, в дроби −84/126 знак минус можно оставить перед дробью, а числитель и знаменатель разделить на положительный общий делитель. Так знак не теряется и не меняется, а сама дробь остаётся равной исходной.

Способы сокращения дроби

Сначала выбери общий делитель, на который удобно делить оба числа. Если знаешь наибольший общий делитель, используй его, чтобы сократить дробь за один шаг. В конце проверь, что числитель и знаменатель не делятся на общее число, большее 1.

Разбор задач

Задача 1. Сократить дробь 12/18. Нужно найти общий делитель числителя и знаменателя и разделить на него оба числа. Здесь удобно взять 6: и 12, и 18 делятся на него без остатка.

1. Находим общий делитель: 6.
2. Делим числитель и знаменатель на 6: 12 ÷ 6 = 2, 18 ÷ 6 = 3.
3. Проверяем, можно ли сократить 2/3: у 2 и 3 нет общего делителя, большего 1.

Ответ: 12/18 = 2/3.

Задача 2. Сократить дробь 42/70 до несократимого вида. Чтобы выполнить сокращение за один шаг, найдём наибольший общий делитель чисел 42 и 70. Общие делители этих чисел — 1, 2 и 14, значит, наибольший из них равен 14.

1. Находим наибольший общий делитель: НОД(42, 70) = 14.
2. Делим числитель и знаменатель на 14: 42 ÷ 14 = 3, 70 ÷ 14 = 5.
3. Проверяем полученную дробь: числа 3 и 5 не имеют общего делителя, большего 1.

Ответ: 42/70 = 3/5. Дробь 3/5 несократима.

Задача 3. Сократить дробь −84/126 и проверить результат. Минус относится ко всей дроби, поэтому его нужно сохранить. Сначала найдём наибольший общий делитель положительных чисел 84 и 126: это 42. Деление обоих чисел на 42 уменьшит дробь, не меняя её значения и знака.

1. Сохраняем знак минус и находим НОД(84, 126) = 42.
2. Делим числитель и знаменатель на 42: −84 ÷ 42 = −2, 126 ÷ 42 = 3.
3. Проверяем числа 2 и 3: общего делителя, большего 1, у них нет.

Ответ: −84/126 = −2/3. Дробь несократима, знак минус сохранён.

Типичные ошибки

• Если разделить только числитель или только знаменатель, значение дроби изменится. Так часто поступают, замечая делитель только у одного числа; проверь, что деление без остатка выполняется для обоих чисел и оба результата записаны в новой дроби.

• Нельзя делить числитель и знаменатель на разные числа: дробь перестанет быть равной исходной. Ошибка может возникнуть, если отдельно искать удобное деление для каждого числа; перед вычислением назови один общий делитель и используй именно его для обоих.

• После одного шага сокращения дробь не всегда становится несократимой. Можно выбрать общий делитель, который меньше наибольшего, и не заметить оставшийся общий делитель; проверь полученные числа или сократи их ещё раз, если они делятся на одно и то же число, большее 1.

• При сокращении отрицательной дроби нельзя терять или менять знак. Это случается, когда минус не переносят вместе с дробью; до и после вычисления сравни знаки: если исходная дробь отрицательная, результат тоже должен быть отрицательным.

Связь с другими темами

Для сокращения нужно уметь находить делители числа и общий делитель двух чисел. Само правило опирается на основное свойство дроби: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, не меняя значения дроби. Сокращённые дроби удобнее сравнивать и использовать в вычислениях. Навык также пригодится при приведении дробей к общему знаменателю и решении задач с обыкновенными дробями.

Что запомнить

• Числитель и знаменатель делят на один и тот же общий делитель.
• Делитель при сокращении не равен нулю.
• Сокращение не меняет значение дроби.
• Деление на наибольший общий делитель сразу даёт несократимую дробь.
• В несократимой дроби числитель и знаменатель не имеют общего делителя, большего 1.
• При сокращении отрицательной дроби её знак сохраняют.