9. Сокращение дробей

Определения и обозначения

Сокращение дроби — деление её числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число, большее 1. Числитель — число над чертой дроби, а знаменатель — число под чертой. Например, в дроби 18/24 можно разделить и 18, и 24 на 6. Сокращение нужно, чтобы записать ту же дробь более простыми числами.

Сократимая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой имеют общий делитель, больший 1. Общий делитель — число, на которое оба числа делятся без остатка. Например, у чисел 18 и 24 общий делитель 6, поэтому дробь 18/24 сократима. Это определение помогает понять, можно ли упростить дробь.

Несократимая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей, кроме 1. Например, у чисел 3 и 4 нет общего делителя, большего 1, поэтому дробь 3/4 несократимая. Такая запись уже не упрощается делением числителя и знаменателя на одно число. Проверка на несократимость помогает завершить сокращение.

Как это устроено

Дробь показывает, сколько долей взяли из целого, а размер доли зависит от знаменателя. Если разделить числитель и знаменатель на одно и то же число, количество частей и число взятых частей меняются согласованно. Это следует из основного свойства дроби: если умножить или разделить числитель и знаменатель на одно и то же число, значение дроби останется прежним. Например, 18/24 и 3/4 обозначают одну и ту же величину, потому что 18 и 24 разделили на 6.

Чтобы сократить дробь, сначала ищут число, на которое без остатка делятся и числитель, и знаменатель. Такое число и есть общий делитель, и оно должно быть больше 1, иначе дробь не станет проще. Можно проверять делимость на знакомые числа: например, оба числа делятся на 2, если они чётные. Затем оба числа делят на найденный делитель и записывают новую дробь.

Иногда после первого сокращения дробь всё ещё можно упростить. Это происходит, если у получившихся числителя и знаменателя остался общий делитель, больший 1. Тогда выполняют сокращение ещё раз, поскольку каждый такой шаг сохраняет значение дроби. Продолжают, пока общих делителей, кроме 1, не останется.

Есть способ сократить дробь за один шаг: найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя. Наибольший общий делитель, или НОД, — самое большое число, на которое оба числа делятся без остатка. Если разделить числитель и знаменатель сразу на этот делитель, результат будет тем же, что и после нескольких последовательных сокращений. Например, для 18 и 24 НОД равен 6.

При любом способе сокращения полученная дробь равна исходной, потому что на каждом шаге оба числа делят на один и тот же делитель. Если использован наибольший общий делитель, у результата не может остаться общего делителя, большего 1: иначе исходные числа делились бы на произведение этого делителя и НОД, что противоречит выбору наибольшего делителя. Поэтому результат несократим. При поэтапном сокращении тот же итог получают, когда все общие делители уже использованы.

Способы сокращения дроби

Сначала выбери, есть ли общий делитель у числителя и знаменателя. Если нашёл обычный общий делитель, после деления проверь новую дробь ещё раз. Если нашёл НОД, можно сразу получить несократимую дробь.

Разбор задач

Сократите дробь 18/24

1. Сначала ищем число, на которое делятся и 18, и 24. Оба числа делятся на 6: 18 : 6 = 3, 24 : 6 = 4. Делитель 6 больше 1, значит, им можно сократить дробь.

2. Делим на 6 числитель и знаменатель: 18/24 = 3/4. Значение дроби при этом не изменилось, поскольку оба числа разделили на один и тот же делитель. Проверяем результат: у 3 и 4 нет общего делителя, большего 1.

Ответ: 3/4.

Сократите дробь 45/75 до несократимого вида

1. Найдём общий делитель: 45 и 75 делятся на 5. Делим числитель и знаменатель на 5 и получаем 45/75 = 9/15. На этом останавливаться рано, потому что 9 и 15 тоже имеют общий делитель, больший 1.

2. Делим 9 и 15 на 3: 9/15 = 3/5. Теперь проверяем результат. Числа 3 и 5 не имеют общих делителей, кроме 1, поэтому дробь 3/5 несократимая.

Ответ: 3/5.

Сократите дробь 126/210 за один шаг

1. Чтобы сократить дробь за один шаг, нужно найти наибольший общий делитель чисел 126 и 210. Разложим числа на множители: 126 = 2 · 3² · 7, а 210 = 2 · 3 · 5 · 7. Общие множители — 2, 3 и 7, поэтому НОД равен 2 · 3 · 7 = 42.

2. Делим числитель и знаменатель на 42: 126 : 42 = 3, 210 : 42 = 5. Получаем дробь 3/5. В ней нет общего делителя числителя и знаменателя, большего 1, значит, результат несократимый.

Ответ: 3/5.

Типичные ошибки

Ошибка — разделить на общий делитель только числитель или только знаменатель. Так значение дроби меняется, потому что числа уже не связаны основным свойством дроби. Эту ошибку легко допустить, сосредоточившись на одном числе. Проверь себя: после сокращения на один и тот же делитель должны быть разделены оба числа.

Нельзя вычитать одно и то же число из числителя и знаменателя: основное свойство дроби разрешает умножать или делить оба числа на одно и то же число. Иногда вычитание кажется удобным, потому что оба числа становятся меньше, но значение дроби при этом может измениться. Например, 6/10 — это не то же самое, что (6 − 2)/(10 − 2) = 4/8. Проверяй, что ты именно делишь числитель и знаменатель на общий делитель.

После одного сокращения дробь не всегда становится несократимой. Если новые числитель и знаменатель всё ещё делятся на одно и то же число, большeе 1, сокращение можно продолжить. Останавливаться рано, когда в результате, например, получилось 9/15: оба числа делятся на 3. Проверь остаточные общие делители и сокращай до тех пор, пока останется только общий делитель 1.

Ещё одна ошибка — остановиться на дроби, числитель и знаменатель которой имеют общий делитель, больший 1. Такую дробь нельзя назвать несократимой, даже если она уже выглядит проще исходной. Ошибку помогает заметить проверка делимости новых чисел на общие делители. Если общий делитель найден, раздели на него оба числа и снова проверь результат.

Связь с другими темами

Для сокращения нужно уметь различать числитель и знаменатель, находить делители натуральных чисел и пользоваться основным свойством дроби. Без этих знаний трудно определить подходящий общий делитель и понять, почему значение сохраняется. Поэтому перед сокращением полезно проверить делимость обоих чисел на одно и то же число.

Сокращённые дроби удобнее использовать при приведении к общему знаменателю и сравнении дробей. Они также помогают выполнять действия с дробями: меньшие числители и знаменатели обычно проще считать. Сокращение не меняет саму дробь, а только делает её запись удобнее.

Что запомнить

• При сокращении делят и числитель, и знаменатель на одно и то же число.
• Делитель для сокращения должен быть общим и большим 1.
• Значение дроби при сокращении не меняется.
• Дробь можно сокращать поэтапно или сразу на наибольший общий делитель.
• Несократимая дробь не имеет общего делителя числителя и знаменателя, кроме 1.