10. Приведение дробей к общему знаменателю

Определения и обозначения

Общий знаменатель дробей — это число, которое делится на знаменатель каждой из данных дробей. Например, для знаменателей 3 и 4 подходят 12 и 24: каждое из этих чисел делится и на 3, и на 4 без остатка. Чтобы проверить число, раздели его на каждый исходный знаменатель; если все частные — целые числа, оно подходит. Общий знаменатель позволяет записать дроби так, чтобы размеры их долей стали одинаковыми.

Дополнительный множитель — число, на которое умножают числитель и знаменатель дроби, чтобы получить выбранный общий знаменатель. Его находят отдельно для каждой дроби: общий знаменатель делят на исходный знаменатель. Например, если знаменатель 3 нужно заменить на 12, дополнительный множитель равен 12 : 3 = 4. Он показывает, во сколько раз надо увеличить знаменатель, и на столько же увеличить числитель, чтобы значение дроби сохранилось.

Наименьший общий знаменатель — наименьшее положительное число, которое делится на все знаменатели данных дробей. Для знаменателей 3 и 4 это 12: числа меньше 12 не делятся на оба знаменателя одновременно. Иногда его сокращённо называют НОЗ; при нахождении используют правило для наименьшего общего кратного чисел. Выбирать наименьший знаменатель удобно, потому что с меньшими числами обычно проще сравнивать и вычислять.

Как это устроено

Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое, а числитель — сколько таких частей взято. Поэтому дроби с разными знаменателями описывают доли разного размера: например, одна треть и одна четвёртая — не одинаковые части целого. Нельзя сразу складывать такие доли как одинаковые предметы или сравнивать только их числители. Сначала дроби заменяют равными им дробями с одинаковыми знаменателями, то есть выражают доли в частях одного размера.

Общий знаменатель можно найти перебором кратных. Выпиши числа, которые получаются при умножении каждого знаменателя на 1, 2, 3 и так далее, а затем найди числа, встречающиеся во всех списках. Для 3 и 4 получаются ряды 3, 6, 9, 12… и 4, 8, 12…; первое общее число — 12. Это и есть наименьший общий знаменатель, а любое следующее общее число тоже будет допустимым знаменателем.

Если знаменателей несколько или они велики, помогает разложение на простые множители. Простые числа — это числа больше 1, которые делятся без остатка только на 1 и на себя; например, 2, 3 и 5. Разложи каждый знаменатель на такие множители и для каждого множителя выбери наибольшую степень, которая встречается хотя бы в одном разложении. Перемножение выбранных степеней даёт наименьшее число, содержащее все нужные множители, поэтому оно делится на каждый исходный знаменатель.

Когда общий знаменатель найден, для каждой дроби вычисляют свой дополнительный множитель: делят общий знаменатель на её знаменатель. Затем умножают на это число и числитель, и знаменатель дроби. Например, при переходе от знаменателя 5 к 20 дополнительный множитель равен 4, поэтому дробь умножают на 4/4. После такого действия знаменатель станет 20, и значение дроби останется прежним.

Равенство дроби после умножения объясняется тем, что дробная черта означает деление. Если числитель и знаменатель умножить на одно и то же ненулевое число, получится то же отношение: например, 2/3 = (2 · 4)/(3 · 4) = 8/12. Число, на которое умножают, не должно быть нулём, иначе в знаменателе получился бы ноль, а на ноль делить нельзя. Так можно менять размер частей, не меняя долю целого.

Приведение дробей к общему знаменателю

Пользуйся строками таблицы по порядку: сначала выбери общий знаменатель, затем отдельно обработай каждую дробь. После преобразования проверь, что знаменатели совпадают и числители умножены на те же дополнительные множители, что и знаменатели. Если общий знаменатель оказался не наименьшим, дроби всё равно приведены верно, но числа могут быть больше.

Разбор задач

Привести дроби 1/3 и 1/4 к общему знаменателю

Сначала подберём наименьший знаменатель, который делится и на 3, и на 4. Кратные 3 — 3, 6, 9, 12…, а кратные 4 — 4, 8, 12…; первое совпадение — 12. Теперь найдём, во сколько раз нужно увеличить каждый исходный знаменатель, и применим тот же множитель к числителю.

1. Общий знаменатель равен 12.
2. Для дроби 1/3 дополнительный множитель: 12 : 3 = 4. Умножаем числитель и знаменатель: 1/3 = (1 · 4)/(3 · 4) = 4/12.
3. Для дроби 1/4 дополнительный множитель: 12 : 4 = 3. Получаем 1/4 = (1 · 3)/(4 · 3) = 3/12.

Теперь обе дроби выражены в двенадцатых долях, поэтому их можно сравнивать по числителям или использовать в сложении и вычитании. Мы не просто сделали знаменатели одинаковыми: умножение каждой дроби на равное отношение сохранило её значение. Ответ: 1/3 = 4/12, 1/4 = 3/12.

Привести дроби 5/6 и 7/9 к наименьшему общему знаменателю

Перебор кратных здесь тоже возможен, но разложение на множители быстро показывает, какое общее число будет наименьшим. Для 6 нужны множители 2 и 3, а для 9 — два множителя 3. Чтобы число делилось на 6 и 9, в нём должны быть и 2, и два множителя 3.

1. Разложим знаменатели: 6 = 2 · 3, 9 = 3².
2. Берём множители в наибольших нужных степенях: 2 · 3² = 18. Значит, наименьший общий знаменатель — 18.
3. Для 5/6 дополнительный множитель равен 18 : 6 = 3: 5/6 = (5 · 3)/(6 · 3) = 15/18.
4. Для 7/9 дополнительный множитель равен 18 : 9 = 2: 7/9 = (7 · 2)/(9 · 2) = 14/18.

Проверим результат: 18 делится на 6 и на 9, а в обеих новых дробях знаменатель равен 18. Числитель каждой дроби изменён тем же множителем, что и её знаменатель, поэтому значения дробей не изменились. Ответ: 5/6 = 15/18, 7/9 = 14/18.

Привести дроби 7/12, 5/18 и 11/24 к наименьшему общему знаменателю

Когда знаменателей три, важно учесть все простые множители, даже если один и тот же множитель встречается в нескольких разложениях. Для 12 нужны два множителя 2 и один множитель 3; для 18 — один множитель 2 и два множителя 3; для 24 — три множителя 2. Значит, в общем знаменателе нужны три двойки и две тройки.

1. Разложим знаменатели: 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², 24 = 2³ · 3.
2. Берём наибольшие степени: 2³ и 3². Перемножаем: 8 · 9 = 72. Наименьший общий знаменатель равен 72.
3. Для 7/12 множитель 72 : 12 = 6, поэтому 7/12 = 42/72.
4. Для 5/18 множитель 72 : 18 = 4, поэтому 5/18 = 20/72.
5. Для 11/24 множитель 72 : 24 = 3, поэтому 11/24 = 33/72.

Здесь степени двойки и тройки выбраны не случайно: меньшего количества любого из этих множителей не хватило бы для делимости на один из исходных знаменателей. Проверка делением даёт 72 : 12 = 6, 72 : 18 = 4 и 72 : 24 = 3, а все новые знаменатели совпадают. Ответ: 7/12 = 42/72, 5/18 = 20/72, 11/24 = 33/72.

Типичные ошибки

Умножают только знаменатель, забывая про числитель. Так поступают, потому что цель кажется простой: получить нужное число снизу, но значение дроби при этом меняется. Например, 1/3 нельзя заменить на 1/12: это уже другая доля. Проверь себя: оба числа дроби должны быть умножены на один и тот же дополнительный множитель.

Используют один и тот же дополнительный множитель для разных дробей, не проверяя деление. Его величина зависит от исходного знаменателя, поэтому для дробей с разными знаменателями множители часто тоже разные. Если взять множитель наугад, новые знаменатели могут не совпасть. Для проверки раздели общий знаменатель на знаменатель каждой дроби и проверь умножением обратный результат.

При разложении для НОК берут каждый общий множитель только один раз. Так можно сделать число, которое не делится на исходные знаменатели: например, для 4 и 8 одного множителя 2 недостаточно. Причина ошибки — забывают учитывать повторения и степени простых множителей. Проверь, что в общем числе каждый множитель встречается не реже, чем в любом из исходных разложений.

Иногда думают, что общий знаменатель обязательно должен быть наименьшим. Это неверно: подойдёт и большее число, если оно делится на каждый знаменатель, однако вычисления станут громоздкими. Наименьший знаменатель выбирают ради удобства, а не потому, что другие запрещены. Проверь подходящее число делением на все знаменатели; если делится без остатка, оно является общим.

Связь с другими темами

Чтобы находить общий знаменатель, нужно уметь находить кратные и делители натуральных чисел. Также помогает понимание равенства дробей: дроби с разными записями могут обозначать одну и ту же долю. Приведение к общему знаменателю позволяет сравнивать дроби: при равных знаменателях больше та, у которой числитель больше. Тот же приём используют перед сложением и вычитанием обыкновенных дробей с разными знаменателями.

Что запомнить

• Общий знаменатель должен делиться на каждый из исходных знаменателей.
• Удобнее всего приводить дроби к наименьшему общему знаменателю.
• Дополнительный множитель находят делением общего знаменателя на исходный знаменатель.
• Числитель и знаменатель дроби умножают на один и тот же множитель.
• После приведения знаменатели дробей одинаковы, а их значения не меняются.