"Математика", Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Приведение дробей к общему знаменателю — это замена дробей равными им дробями, у которых одинаковые знаменатели. Такой приём нужен, чтобы сравнивать дроби, а также складывать и вычитать дроби с разными знаменателями. Общим знаменателем выбирают число, которое делится на каждый исходный знаменатель. Затем для каждой дроби находят дополнительный множитель и умножают на него и числитель, и знаменатель. Часто удобно брать наименьший общий знаменатель.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Общий знаменатель дробей — число, которое становится знаменателем каждой дроби после преобразования. Например, для 1/3 и 1/4 общим знаменателем может быть 12. Это число нужно, чтобы записать дроби с одинаковыми знаменателями и затем сравнивать или складывать их.
Дополнительный множитель — число, на которое умножают числитель и знаменатель дроби, чтобы получить нужный знаменатель. Для дроби 1/3 при знаменателе 12 таким множителем будет 4, потому что 3 × 4 = 12. Он показывает, во сколько раз надо увеличить знаменатель, и помогает не изменить значение дроби.
Приведение дробей к общему знаменателю — замена дробей равными им дробями с одинаковыми знаменателями. Например, 1/3 можно заменить на 4/12, а 1/4 — на 3/12. Такой способ нужен, когда дроби предстоит сравнить или выполнить с ними сложение и вычитание.
Наименьший общий знаменатель — наименьшее число, которое делится без остатка на знаменатели всех данных дробей. Для знаменателей 4 и 6 это 12. Выбор такого числа помогает обойтись меньшими числами, поэтому дальнейшие вычисления обычно проще.
Дробь можно представить как часть целого, разделённого на равные части. Если каждую часть разделить ещё на несколько одинаковых частей, число частей целого и число взятых частей увеличатся во столько же раз. Поэтому при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число значение дроби сохраняется, хотя её запись меняется.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, сначала выбирают число, кратное каждому исходному знаменателю. Кратным называется число, которое получается при умножении данного числа на натуральное число. Такое число подходит, потому что каждый знаменатель можно увеличить до него целое число раз, а значит, для каждой дроби найдётся свой дополнительный множитель.
Найденный дополнительный множитель показывает, во сколько раз нужно увеличить исходный знаменатель. Поэтому новый знаменатель равен произведению старого знаменателя на этот множитель. Числитель тоже умножают на него: только так сохраняется размер каждой доли и сама дробь остаётся равной исходной.
Общим знаменателем может служить произведение исходных знаменателей, потому что оно делится на каждый из множителей. Но такое число иногда оказывается больше, чем нужно, и тогда числители после преобразования тоже становятся большими. Наименьший общий знаменатель тоже делится на все исходные знаменатели, но не содержит лишнего увеличения, поэтому вычисления с ним часто проще.
Если один знаменатель делится на другой, больший знаменатель уже делится на оба и может стать общим. Например, 8 делится на 4 и на 8, поэтому дроби со знаменателями 4 и 8 можно привести к знаменателю 8. Когда знаменатели уже равны, требуемое условие выполнено: дополнительный множитель для каждой дроби равен 1, и менять запись не нужно.
Найди в таблице подходящую ситуацию и проверь, делится ли выбранный общий знаменатель на каждый исходный знаменатель. Затем раздели его на знаменатель каждой дроби — так получатся дополнительные множители. Умножь на каждый множитель и числитель, и знаменатель своей дроби.
| Ситуация | Общий знаменатель | Дополнительный множитель | Что сделать с дробью |
|---|---|---|---|
| Знаменатели равны | Исходный знаменатель | 1 для каждой дроби | Оставить дроби без изменений |
| Один знаменатель делится на другой | Больший знаменатель | Для меньшего знаменателя: больший ÷ меньший; для большего: 1 | Умножить числитель и знаменатель дроби с меньшим знаменателем на её множитель |
| Знаменатели не делятся друг на друга | Наименьшее общее кратное знаменателей | Общий знаменатель ÷ исходный знаменатель | Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на свой множитель |
Задача 1. Приведи дроби 2/7 и 5/7 к общему знаменателю. Знаменатели в условии уже одинаковы, поэтому подходящее число найдено сразу. Не нужно менять ни одну из дробей.
Ответ: 2/7 и 5/7.
Задача 2. Приведи дроби 3/4 и 5/8 к наименьшему общему знаменателю. Число 8 делится на 4 и на 8, а меньшего подходящего числа нет. Значит, можно оставить знаменатель второй дроби и заменить первую равной ей дробью со знаменателем 8.
Ответ: 6/8 и 5/8.
Задача 3. Приведи дроби 2/3, 3/5 и 1/4 к наименьшему общему знаменателю. Нужно найти наименьшее число, которое делится на 3, 5 и 4. Число 60 подходит: оно делится на каждый из этих знаменателей, а среди меньших общих кратных подходящего числа нет.
Ответ: 40/60, 36/60 и 15/60.
Иногда умножают знаменатель на дополнительный множитель, но забывают о числителе. Тогда меняется размер дроби: например, 1/3 нельзя заменить на 1/12, потому что эти дроби не равны. Ошибка возникает, если считать, что нужно изменить только число внизу. Проверь результат обратным действием или убедись, что числитель и знаменатель умножены на одно и то же число.
Другая ошибка — умножить числитель и знаменатель на разные числа. В таком случае дробь обычно меняет своё значение, потому что размер частей и количество взятых частей изменяются несогласованно. Так бывает, если подгоняют только знаменатель, не проверяя числитель. Перед записью результата сравни два множителя: они должны совпадать.
Число, которое не делится на один из исходных знаменателей, не может быть общим знаменателем. Например, 10 не подходит для знаменателей 3 и 5, потому что на 3 оно не делится без остатка. Ошибиться можно, проверив число только на один знаменатель. Раздели предполагаемый общий знаменатель на каждый исходный: все частные должны быть целыми числами.
Можно выбрать общий знаменатель слишком большим, например произведение знаменателей, когда есть более удобное число. Полученные дроби всё равно будут равны исходным, так что сам способ не станет неверным. Большие числа выбирают, если не проверяют, нет ли меньшего общего кратного. Проверь делимость и попробуй найти наименьший общий знаменатель, чтобы упростить вычисления.
Перед приведением дробей к общему знаменателю полезно уметь получать равные дроби: для этого числитель и знаменатель умножают на одно и то же натуральное число. Выбор знаменателя связан с делителями и кратными натуральных чисел: именно они помогают найти подходящее общее число. Получив одинаковые знаменатели, дроби удобно сравнивать, складывать и вычитать. Поэтому этот приём соединяет работу с дробями с дальнейшими действиями над ними.
Почему при изменении знаменателя нужно умножать и числитель?
Числитель и знаменатель показывают, на сколько равных частей разделено целое и сколько таких частей взято. Если умножить оба числа на одно и то же число, дробь не изменит значения. Если изменить только знаменатель, получится другая дробь.
Как понять, что число подходит в качестве общего знаменателя?
Оно должно делиться без остатка на каждый исходный знаменатель. Тогда каждый исходный знаменатель можно домножить до выбранного числа. Например, для знаменателей 4 и 8 подходит 8.
Обязательно ли искать наименьший общий знаменатель?
Нет, подойдёт любое число, которое делится на все исходные знаменатели. Но наименьший общий знаменатель обычно помогает работать с меньшими числами и упрощает вычисления.
Как найти дополнительный множитель для каждой дроби?
Раздели выбранный общий знаменатель на исходный знаменатель дроби. Полученное число и будет дополнительным множителем. На него нужно умножить и числитель, и знаменатель.
Что делать, если один знаменатель уже делится на другой?
Можно взять больший знаменатель общим, если он делится на оба исходных знаменателя. Дробь с большим знаменателем не меняют, а у второй находят дополнительный множитель. Если знаменатели равны, менять дроби не нужно.
8.4. Приведение дробей к общему знаменателю
