"Математика", Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Основное свойство дроби помогает заменять дробь другой, равной ей, но с более удобными числителем и знаменателем. Чтобы получить такую дробь, числитель и знаменатель умножают или делят на одно и то же ненулевое число. На этом основаны расширение и сокращение дробей, приведение их к общему знаменателю и сравнение. Главное — выполнять одинаковое действие с обеими частями дроби.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равные дроби — дроби, которые обозначают одно и то же число, хотя их числители и знаменатели могут различаться. Например, ½ и 2/4 равны. Это понятие нужно, чтобы заменять дробь более удобной записью, не изменяя её значения.
Основное свойство дроби — если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, получится равная ей дробь. В записи a/b = (a · n)/(b · n) число n не равно нулю. Свойство позволяет преобразовывать дроби для дальнейших вычислений.
Расширение дроби — умножение её числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число. Например, при расширении 2/3 на 4 получаем 8/12. Этот приём помогает получить нужный или общий знаменатель.
Сокращение дроби — деление её числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от нуля. Например, 12/18 можно разделить на 6 и получить 2/3. Сокращение делает запись дроби проще.
Дробь можно рассматривать как результат деления: a/b — это частное числителя a и знаменателя b. Если делимое и делитель умножить на одно и то же ненулевое число, частное сохранится. Поэтому a/b = (a · n)/(b · n), например 2/3 = 8/12: обе записи обозначают одно и то же число.
Основное свойство даёт равные дроби с большими числителем и знаменателем. Для этого выбирают множитель и умножают на него оба числа, а не только одно из них. Так из 3/5 при умножении на 2 получается 6/10, и размер каждой доли меняется, но всё число остаётся прежним.
Чтобы выполнить расширение, сначала определяют, во сколько раз должен увеличиться знаменатель. Затем на найденное число умножают числитель и знаменатель. Например, если знаменатель 4 нужно превратить в 20, множитель равен 5, поэтому 3/4 превращается в 15/20.
При сокращении сначала ищут общий делитель числителя и знаменателя. Затем оба числа делят на него и записывают полученную дробь. Например, общий делитель чисел 12 и 18 равен 6, поэтому 12/18 = (12 : 6)/(18 : 6) = 2/3.
Делить только одно число нельзя, потому что тогда изменится частное, то есть значение дроби. Сокращение продолжают, пока общий делитель больше единицы не исчезнет. Если числитель и знаменатель взаимно просты, дробь уже сокращена до конца.
В таблице действие показывает цель преобразования, а следующие столбцы — что происходит с числителем и знаменателем. Последний столбец помогает проверить, сохранилось ли значение дроби. При любом верном преобразовании оба числа изменяются одинаково.
| Действие | Что сделать с числителем | Что сделать со знаменателем | Результат |
|---|---|---|---|
| Расширение дроби | Умножить на выбранное число | Умножить на то же число | Равная дробь с большими числами |
| Сокращение дроби | Разделить на общий делитель | Разделить на тот же общий делитель | Равная дробь с меньшими числами |
| Условие сохранения значения дроби | Выполнить одно действие | Выполнить то же действие | Число дроби не изменяется |
| Пример преобразования | 2 · 4 = 8 | 3 · 4 = 12 | 2/3 = 8/12 |
Задача 1. Запишите дробь 2/3 в виде дроби со знаменателем 12. Нужно понять, во сколько раз знаменатель 3 превращается в 12. На это же число следует умножить числитель.
Ответ: 8/12.
Задача 2. Сократите дробь 12/18. Ищем общий делитель числителя и знаменателя; удобно взять наибольший общий делитель 6. Делим оба числа на него.
Ответ: 2/3.
Задача 3. Приведите дроби 3/4 и 5/6 к общему знаменателю и сравните их. Общим знаменателем удобно выбрать 12, потому что 12 делится и на 4, и на 6. После расширения сравниваем числители полученных дробей.
Ответ: 3/4 < 5/6.
Умножают или делят только числитель либо только знаменатель. Так значение дроби изменяется, потому что меняется только одна часть частного. Проверьте себя: действие должно быть записано над обоими числами.
При расширении используют разные множители. Так бывает, когда ученик подбирает новый знаменатель и забывает изменить числитель во столько же раз. Сравните множители: они должны совпадать.
При сокращении делят на число, которое не является общим делителем. Тогда хотя бы одно деление не выполняется нацело, и правильная дробь с целыми числами не получается. Проверьте делимость обоих чисел до сокращения.
Считают дробь сокращённой слишком рано. После одного деления у числителя и знаменателя может остаться общий делитель больше единицы. Проверьте новые числа и продолжайте сокращение, пока такого делителя не останется.
До изучения свойства дроби нужно знать, что такое числитель и знаменатель, а также понимать связь дроби с делением. Это помогает увидеть, почему одинаковое умножение или деление двух частей сохраняет частное.
Расширение и сокращение нужны при приведении дробей к общему знаменателю. Благодаря этому можно сравнивать дроби: после выравнивания знаменателей достаточно сравнить числители.
Почему дробь не меняется, если умножить числитель и знаменатель на одно число?
Дробь можно понимать как частное числителя и знаменателя. Если делимое и делитель умножить на одно и то же ненулевое число, частное не изменится: a/b = (a · n)/(b · n).
Можно ли сокращать дробь на любое число?
Нет, делить нужно на общий делитель числителя и знаменателя. Если число не делит оба числа нацело, равная дробь с целыми числителем и знаменателем не получится.
Что делать, если числитель и знаменатель нельзя разделить нацело?
Значит, выбранное число не является их общим делителем, и сокращать на него нельзя. Проверьте другие делители или оставьте дробь без сокращения.
Как понять, что дробь сокращена до конца?
Нужно проверить, есть ли у числителя и знаменателя общий делитель, больший единицы. Если такого делителя нет, дробь сокращена полностью.
Зачем расширять дробь, если её значение не меняется?
Расширение нужно, чтобы получить удобный знаменатель или общий знаменатель нескольких дробей. После этого дроби легче сравнивать и выполнять с ними действия.
8.3. Основное свойство дроби
