"Математика", Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. и др.
Дроби с разными числителями и знаменателями могут обозначать одно и то же число. Основное свойство дроби объясняет, почему так происходит: если умножить или разделить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится. Это свойство помогает получать дроби с удобными знаменателями, сравнивать их и сокращать запись, чтобы ответ стал проще.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равные дроби — дроби с разными числителями и знаменателями, обозначающие одно и то же число. Например, 1/2 и 2/4 равны: обе показывают половину целого. Это понятие нужно, чтобы узнавать одну и ту же долю в разных записях.
Основное свойство дроби говорит: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, отличное от нуля, получится равная дробь. Например, 2/3 = 4/6, потому что обе части первой дроби умножили на 2. Свойство помогает менять запись дроби, не меняя её значения.
Расширение дроби — умножение её числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число. Так, расширив 1/3 на 4, получим 4/12. Это удобно, когда нужно подобрать дроби с одинаковыми знаменателями.
Сокращение дроби — деление числителя и знаменателя на один и тот же натуральный делитель. Например, 6/8 можно сократить на 2 и получить 3/4. Сокращение делает запись короче, но не меняет долю, которую обозначает дробь.
Представь целое, разделённое на 3 равные части, из которых взяли 2: это дробь 2/3. Если каждую из трёх частей разделить ещё на 4 одинаковые части, всего получится 12 маленьких частей, а взятых — 8. Доля целого осталась прежней: изменился только размер частей и их количество. Поэтому 2/3 = 8/12.
Чтобы получить дробь с другими числителем и знаменателем, применяют основное свойство: обе части дроби умножают или делят на одинаковое число. Например, из 3/5 умножением на 2 получается 6/10. Это не новая доля, а другая запись той же доли, потому что число частей и общее количество частей изменились одинаково.
Расширение и сокращение — два направления применения одного свойства. При расширении числитель и знаменатель увеличиваются во столько же раз; при сокращении они уменьшаются во столько же раз. Например, 3/4 можно расширить до 6/8, а 6/8 сократить обратно до 3/4. В обоих случаях отношение числителя к знаменателю сохраняется.
Для расширения сначала решают, какой знаменатель нужен, а затем выясняют, во сколько раз исходный знаменатель должен увеличиться. На столько же умножают числитель. Для сокращения ищут число, на которое оба числа делятся без остатка: например, у 12/18 общий делитель 6, поэтому можно получить 2/3. Если подходящий делитель не найден сразу, проверь делимость на небольшие числа, например на 2, 3 или 5.
Иногда числитель и знаменатель имеют несколько общих делителей. Наибольший общий делитель — самое большое число, на которое делятся оба числа без остатка. Если сразу разделить на него, дробь сразу станет несократимой: у её числителя и знаменателя больше не будет общего делителя, кроме 1. Например, для 18 и 24 это число 6, поэтому 18/24 = 3/4.
В таблице собраны три частых действия с равными дробями. Сначала определи, что требуется: получить нужный знаменатель, упростить запись или проверить равенство. Затем проверь, что числитель и знаменатель изменены согласованно.
| Действие | Что делаем с числителем и знаменателем | Пример | Результат |
|---|---|---|---|
| Расширение дроби | Умножаем оба на одно натуральное число | 2/5 умножаем на 4 | 8/20 |
| Сокращение дроби | Делим оба на один общий делитель | 18/24 делим на 6 | 3/4 |
| Проверка равенства дробей | Приводим дроби к одинаковым знаменателям | 1/2 и 3/6 | 1/2 = 3/6 |
Задача 1. Запишите дробь, равную 2/5, со знаменателем 20. Нужно изменить знаменатель 5 на 20, сохранив значение дроби. Поэтому выясним, во сколько раз увеличили знаменатель, и повторим то же действие с числителем.
Ответ: 8/20. Проверка: числитель и знаменатель умножены на одно и то же число, 4.
Задача 2. Сократите дробь 18/24. Сократить её можно на общий делитель числителя и знаменателя. Чтобы сразу получить короткую запись, найдём наибольший общий делитель этих чисел.
Ответ: 3/4. Можно было сначала разделить оба числа на 2, а затем на 3: результат не изменился бы.
Задача 3. Сравните дроби 7/12 и 5/8, приведя их к общему знаменателю. Сравнивать числители удобно, когда знаменатели одинаковые. Общим знаменателем для 12 и 8 подойдёт 24: на него делятся оба числа.
Ответ: 7/12 < 5/8. При одинаковом знаменателе больше та дробь, у которой больше числитель.
Если умножить или разделить только числитель либо только знаменатель, значение дроби обычно изменится. Так делают, когда забывают, что дробь — это отношение двух чисел. Проверь себя: при каждом преобразовании запиши одно и то же действие для числителя и знаменателя.
При сокращении нельзя делить числитель и знаменатель на разные числа. Иначе основное свойство не применяется, а дробь может изменить значение. Чтобы проверить вычисление, сравни делители: в обеих частях дроби должно стоять деление на одно и то же число.
Нельзя сокращать на число, которое не является общим делителем числителя и знаменателя. Например, если один из результатов деления не целый, выбранное число не подходит для сокращения. Перед вычислением проверь деление обоих чисел: остатка быть не должно.
Сокращение на ноль невозможно, потому что делить на ноль нельзя. Иногда ноль ошибочно принимают за общий делитель, ведь он делит любое число нацело в другом смысле, но деление числа на ноль не определено. Для сокращения выбирай только натуральный общий делитель, отличный от нуля.
Чтобы работать с дробями, нужно понимать, что числитель показывает количество взятых частей, а знаменатель — количество равных частей в целом. Также пригодится умение делить натуральные числа и проверять деление без остатка. Эти знания помогают правильно расширять и сокращать дроби.
Расширение позволяет привести дроби к общему знаменателю: тогда их можно сравнить по числителям. Например, так сравнивают дроби с разными знаменателями. Это один из способов понять, какая доля больше.
Сокращение используют при действиях с дробями и при записи ответа в простом виде. Несократимая дробь короче, но обозначает ту же долю. Поэтому после вычислений часто проверяют, можно ли сократить результат.
Почему при умножении числителя и знаменателя на одно число дробь не меняется?
Дробь показывает, сколько частей взяли и на сколько равных частей разделили целое. Если каждую часть разделить на одинаковое число частей, и число взятых частей, и общее число частей увеличатся во столько же раз. Поэтому доля целого останется прежней.
Можно ли расширить дробь на любое натуральное число?
Да, можно умножить числитель и знаменатель на любое натуральное число, отличное от нуля. Главное — использовать одно и то же число для обеих частей дроби.
Как понять, на какое число можно сократить дробь?
Выбери число, на которое и числитель, и знаменатель делятся без остатка. Такое число называют общим делителем. Например, дробь 18/24 можно разделить в числителе и знаменателе на 6.
Обязательно ли сокращать дробь за один шаг?
Нет, можно сокращать поэтапно, каждый раз деля числитель и знаменатель на общий делитель. Можно также сразу разделить их на наибольший общий делитель. В обоих случаях получится одна и та же несократимая дробь.
Когда дробь считается несократимой?
Дробь несократима, если её числитель и знаменатель не имеют общего делителя, кроме 1. Значит, их нельзя одновременно разделить на одно натуральное число больше 1 без остатка.
30. Основное свойство дроби
