31. Сравнение дробей

Определения и обозначения

Сравнить дроби — значит установить, какая из них больше, меньше или равна другой. Результат записывают знаками >, < или =: например, ⅜ < ⅝. Сравнение нужно, чтобы выбирать большую или меньшую часть и располагать дроби по порядку.

Общий знаменатель — это число, на которое делятся знаменатели сравниваемых дробей. Например, для знаменателей 6 и 9 общим знаменателем будет 18. Он помогает представить дроби одинаковыми по размеру долями и затем сопоставить, сколько таких долей взято.

Если знаменатели дробей одинаковы, дроби сравнивают по числителям. Знаменатель в этом случае показывает одинаковый размер долей, поэтому больше та дробь, в которой долей больше. Это правило позволяет быстро сравнивать дроби, не изображая их рисунком.

Если числители одинаковы, больше дробь с меньшим знаменателем. В обеих дробях взято одинаковое число частей, но при меньшем знаменателе каждая часть крупнее. Это правило особенно полезно, когда дроби обозначают одинаковое количество долей, но целое разделено по-разному.

Как это устроено

Представь две одинаковые пиццы, каждую из которых разрезали на 8 равных кусочков. Если взять 3 кусочка, получится 3/8, а если 5 — 5/8. Кусочки в обоих случаях одинакового размера, поэтому пять кусочков составляют большую часть, чем три: 3/8 < 5/8. Так на модели видно, почему при одинаковых знаменателях сравнивают числители.

Теперь сравним 4/7 и 4/9. В обеих дробях взято по четыре части одного целого, но в первом случае целое разделили на 7 частей, а во втором — на 9. Седьмая часть крупнее девятой, потому что при делении на меньшее число равных частей каждая часть получается больше. Значит, четыре седьмых больше четырёх девятых: 4/7 > 4/9.

Когда у дробей разные и числители, и знаменатели, удобно сделать знаменатели одинаковыми. Для этого находят общий знаменатель и каждую дробь заменяют равной ей дробью с таким знаменателем. Равенство сохраняется, потому что числитель и знаменатель умножают на одно и то же число: количество долей меняется вместе с их размером, а величина дроби остаётся прежней. После этого можно сравнить числители.

Чтобы сравнить дробь с единицей, достаточно сопоставить числитель со знаменателем. Если взято меньше частей, чем всего содержится в целом, дробь меньше единицы; например, 5/8 < 1. Если числитель равен знаменателю, взяты все части и получается целое, например 6/6 = 1. Если числитель больше знаменателя, долей взято больше, чем составляет одно целое, поэтому дробь больше единицы.

Дроби можно представить точками на координатном луче. На нём числа увеличиваются слева направо: точка, расположенная правее, соответствует большему числу. Поэтому, если отметить две дроби на одном луче, достаточно посмотреть, какая точка находится правее. Этот способ нагляден, но для точного сравнения дробей обычно сначала нужно привести их к удобному виду.

Способы сравнения дробей

Сначала определи, какие части дробей совпадают: знаменатели, числители или ни те ни другие. Затем выбери подходящую строку таблицы и сравни по указанному правилу. Если нужно привести дроби к общему знаменателю, обязательно преобразуй и числители.

Разбор задач

Задача: сравните 3/8 и 5/8. Сначала посмотрим на знаменатели: они одинаковые, значит, доли имеют один и тот же размер. Поэтому не нужно искать общий знаменатель или менять дроби — достаточно определить, какой числитель больше.

1. Сравниваем числители: 3 < 5.
2. Записываем знак между дробями: 3/8 < 5/8.

Ответ: 3/8 < 5/8. Это соответствует модели: из одинаковых по размеру восьмых долей пять составляют больше, чем три.

Задача: сравните 4/7 и 4/9. Числители одинаковы, поэтому в каждой дроби рассматриваем по четыре доли. Нужно выяснить, где доля крупнее: когда целое разделено на 7 или на 9 равных частей.

1. Сравниваем знаменатели: 7 < 9.
2. При одинаковом числителе больше дробь с меньшим знаменателем.
3. Записываем результат: 4/7 > 4/9.

Ответ: 4/7 > 4/9. Седьмые доли крупнее девятых, поэтому и четыре седьмых больше четырёх девятых.

Задача: сравните 5/6 и 7/9. Здесь различаются и числители, и знаменатели, поэтому напрямую сравнить числители 5 и 7 нельзя. Приведём обе дроби к общему знаменателю 18: он делится и на 6, и на 9. Теперь обе дроби будут выражены в одинаковых долях.

1. Чтобы получить знаменатель 18 из 6, умножаем на 3: 5/6 = 15/18.
2. Чтобы получить знаменатель 18 из 9, умножаем на 2: 7/9 = 14/18.
3. Сравниваем числители: 15 > 14, значит, 15/18 > 14/18.

Ответ: 5/6 > 7/9. При приведении к общему знаменателю мы умножили числитель каждой дроби на то же число, что и знаменатель, поэтому сравнивали дроби, равные исходным.

Типичные ошибки

Ошибка: при одинаковых знаменателях сравнивать сами знаменатели. Их значения уже совпадают и говорят, что доли одинакового размера, поэтому сравнить нужно числители. Такую ошибку допускают, когда смотрят только на нижние числа в записи дроби. Проверь себя: если знаменатели равны, поставь знак, сравнив числители.

Ошибка: считать, что при одинаковых числителях больше дробь с большим знаменателем. Большой знаменатель означает, что целое разделили на большее число частей и каждая часть стала мельче. Можно проверить правило на рисунке с одинаковыми целыми или на примере 1/3 и 1/5: третья часть больше пятой. Поэтому при равных числителях большей будет дробь с меньшим знаменателем.

Ошибка: при приведении к общему знаменателю умножить знаменатель, но забыть умножить числитель. Тогда получится уже другая по величине дробь. Например, если 1/3 превратить в 1/6, значение изменится, а правильная равная дробь — 2/6. Проверяй, что числитель и знаменатель умножены на один и тот же множитель.

Ошибка: сравнивать дроби с разными знаменателями только по числителям. Больший числитель не всегда означает большую дробь, потому что размеры долей могут быть разными. Например, нельзя решить, что 5/6 меньше 7/9, только потому что 5 < 7. Сначала приведи дроби к общему знаменателю, а затем сравни получившиеся числители.

Связь с другими темами

Чтобы сравнивать дроби, нужно понимать, что показывает числитель и что показывает знаменатель. Также пригодятся равные дроби: при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число величина дроби не меняется. Эти знания помогают привести дроби к общему знаменателю.

Сравнение понадобится, когда нужно расположить дроби по возрастанию или убыванию, выполнять действия с дробями и решать задачи на доли. Например, сравнение помогает узнать, кто съел большую часть пирога или какой путь длиннее. Умение выбирать подходящий способ делает такие задачи понятнее.

Что запомнить

• Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
• Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
• Дроби с разными знаменателями можно сравнить, приведя их к общему знаменателю.
• При преобразовании дроби числитель и знаменатель умножают на одно и то же число.
• Если числитель меньше знаменателя, дробь меньше единицы.
• На координатном луче большее число расположено правее.