§ 5. Сравнение дробей

Определения и обозначения

Сравнение дробей — это установление того, какая из двух дробей больше, меньше или равна другой. Для записи используют знаки >, < и =. Сравнение помогает расположить дроби по порядку и выбрать нужную долю в задаче.

Дроби с одинаковыми знаменателями — это дроби, у которых равны числа под чертой. Их сравнивают по числителям, потому что знаменатель показывает одинаковый размер частей. Это правило позволяет быстро увидеть, в какой дроби взято больше таких частей.

Дроби с одинаковыми числителями — это дроби, у которых равны числа над чертой. Их сравнивают по знаменателям в обратном порядке: меньше знаменатель — больше дробь. Такое сравнение нужно, когда в обеих дробях взяли одинаковое число частей, но сами части имеют разный размер.

Общий знаменатель — одинаковый знаменатель, к которому можно привести сравниваемые дроби. После приведения знаменатели совпадают, поэтому остаётся сравнить числители. Это помогает сравнить дроби, у которых различаются и числители, и знаменатели.

Как это устроено

Представь целое, разделённое на одинаковые части, например, на восьмые. В дробях 3/8 и 5/8 размер каждой части одинаков, потому что в обеих дробях знаменатель равен 8. Поэтому достаточно посчитать, сколько частей взяли: пять частей больше трёх. Так становится понятно, почему при одинаковых знаменателях сравнивают числители.

Если числители равны, в дробях взято одинаковое количество частей, но их размер может быть разным. Например, при делении целого на 7 частей каждая часть крупнее, чем при делении того же целого на 9 частей. Поэтому четыре седьмых больше, чем четыре девятых. Чем больше знаменатель, тем на большее число частей поделено целое и тем мельче каждая часть.

Когда различаются и числители, и знаменатели, напрямую сравнить количество частей не получится: например, пятые и девятые части имеют разный размер. Сначала нужно записать дроби так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Этот одинаковый знаменатель называют общим. После этого части будут равного размера и их количество можно будет сравнить по числителям.

Чтобы получить общий знаменатель, умножают числитель и знаменатель дроби на одно и то же число. Так дробь не меняется: например, 1/2 и 2/4 обозначают одну и ту же половину, ведь две четверти составляют половину целого. Такое преобразование называют получением равной дроби. Для второй дроби можно подобрать множитель так, чтобы её знаменатель тоже стал общим.

Результат можно проверить рисунком: разделить одинаковые целые на нужное число частей и отметить, сколько частей взято. Ещё один способ — координатный луч: на нём числа увеличиваются слева направо. Если дробь расположена правее другой, она больше; если точки совпадают, дроби равны. Проверка помогает заметить ошибку, например, когда большая на вид дробь на самом деле меньше.

Как сравнивать дроби

Сначала определи, какой случай перед тобой, а затем выбери соответствующее правило. Если оба числа дробей различаются, приведи их к общему знаменателю и только потом сравнивай. Проверяй, чтобы знак был открыт в сторону большей дроби.

Разбор задач

Задача 1. Сравните дроби 3/8 и 5/8. Знаменатели одинаковые, значит, восьмые части в обеих дробях имеют одинаковый размер. Остаётся выяснить, в какой дроби таких частей больше. Запишем сравнение, ориентируясь на числители.

1. Сравним числители: 3 меньше 5.
2. Знаменатели равны, поэтому дробь с числителем 3 меньше дроби с числителем 5.
3. Запишем результат: 3/8 < 5/8.

Ответ: 3/8 < 5/8.

Задача 2. Сравните дроби 4/7 и 4/9. Числители одинаковые, значит, в обеих дробях взяли по четыре части. Но седьмые части крупнее девятых: целое разделили на 7 частей, а не на 9. Значит, четыре седьмых составляют большую долю целого.

1. Убедимся, что числители равны: в обеих дробях стоит 4.
2. Сравним знаменатели: 7 меньше 9.
3. При одинаковых числителях дробь с меньшим знаменателем больше, поэтому 4/7 > 4/9.

Ответ: 4/7 > 4/9.

Задача 3. Сравните дроби 5/6 и 7/9. Здесь не совпадают ни числители, ни знаменатели, поэтому сначала сделаем знаменатели одинаковыми. Общим знаменателем удобно взять 18: это число делится и на 6, и на 9. После преобразования можно будет сравнить части одного размера.

1. Преобразуем 5/6: умножим числитель и знаменатель на 3, получим 15/18.
2. Преобразуем 7/9: умножим числитель и знаменатель на 2, получим 14/18.
3. Сравним числители: 15 больше 14, значит, 15/18 > 14/18.
4. Так как преобразованные дроби равны исходным, получаем 5/6 > 7/9.

Ответ: 5/6 > 7/9.

Типичные ошибки

При одинаковых знаменателях иногда сравнивают именно знаменатели. Так можно ошибиться, потому что одинаковые знаменатели уже говорят: части одного размера, и важнее их количество. Проверь себя: если знаменатели равны, сравни только числа над чертой.

При одинаковых числителях некоторые считают большей дробь с большим знаменателем. Так происходит, если забыть, что знаменатель показывает, на сколько частей поделили целое: чем больше частей, тем мельче каждая. Для проверки представь одинаковое целое, разделённое на 7 и 9 частей, и сравни размер частей.

При приведении к общему знаменателю можно умножить только знаменатель. Тогда значение дроби изменится, ведь число взятых частей останется прежним, а размер каждой части станет другим. Умножай на одно и то же число и числитель, и знаменатель, а затем проверь, что получилась равная дробь.

Нельзя надёжно сравнивать дроби с разными числителями и знаменателями, просто рассматривая числа над и под чертой по отдельности. Например, больший числитель ещё не означает, что больше вся дробь: знаменатели могут задавать части другого размера. Проверь себя: если оба числа различаются, приведи дроби к общему знаменателю и сравни их числители.

Связь с другими темами

Чтобы сравнивать дроби, нужно знать, что показывает числитель и знаменатель, а также понимать смысл равных дробей. При приведении к общему знаменателю числитель и знаменатель умножают на одно и то же число, поэтому полезно уметь выполнять такое умножение. Эти знания помогают применять правила сравнения без ошибок.

Сравнение помогает расположить дроби по возрастанию или убыванию, а также выбирать дробь при выполнении действий с ними. Оно пригодится и в задачах на доли величин: например, чтобы понять, какая часть пути пройдена больше. Поэтому умение сравнивать дроби нужно во многих дальнейших темах.

Что запомнить

• При одинаковых знаменателях больше дробь с большим числителем.
• При одинаковых числителях больше дробь с меньшим знаменателем.
• Дроби с разными числителями и знаменателями можно привести к общему знаменателю.
• При приведении к общему знаменателю числитель и знаменатель дроби умножают на одно и то же число.
• После приведения к общему знаменателю сравнивают числители.
• Знак сравнения должен указывать на большую дробь.