§ 2. Сравнение дробей

Определения и обозначения

Сравнение дробей — установление того, какая из двух дробей больше, меньше или равна другой; для записи используют знаки >, < и =. Например, запись ⅓ < ½ означает, что одна треть меньше одной второй. Сравнение помогает расположить дроби по порядку и выбрать подходящее число при решении задачи.

Общий знаменатель — одно и то же число, к которому приводят знаменатели сравниваемых дробей. Например, для дробей ½ и ⅓ общим знаменателем может быть 6. Он нужен, чтобы доли в обеих дробях имели одинаковый размер и их количество можно было сравнить напрямую.

Приведение дробей к общему знаменателю — замена дробей равными им дробями с одинаковыми знаменателями. Так, ½ = 3/6, а ⅓ = 2/6. Значения не меняются, но становится удобно сравнить числители и определить, какая дробь больше.

Числовая прямая — изображение чисел точками на прямой, где числа увеличиваются слева направо. Точка, расположенная правее, соответствует большему числу. По прямой можно наглядно проверить порядок дробей и понять, какой знак поставить.

Как это устроено

Сравнивая дроби, мы устанавливаем отношение между их значениями, а не просто смотрим на записанные цифры. Знак > раскрывается словами «больше», знак < — «меньше», а знак = означает одинаковую величину. Удобно читать запись слева направо: остриё знака неравенства направлено к меньшему числу, а широкая сторона — к большему.

Если знаменатели одинаковы, дроби составлены из долей одного размера. Например, пятая часть в обеих дробях одинаковая, поэтому достаточно посмотреть, сколько таких частей взяли. Из 3/5 и 4/5 больше 4/5: четыре равные доли составляют больше, чем три. Поэтому при одинаковых знаменателях сравнивают числители.

При одинаковых числителях количество взятых долей совпадает, но сами доли имеют разный размер. Чем на большее число частей разделили единицу, тем мельче каждая часть: одна шестая меньше одной третьей. Поэтому из 2/3 и 2/5 больше 2/3 — обе дроби содержат по две доли, но трети крупнее пятых.

Если знаменатели разные, доли единицы обычно неодинаковы, поэтому сравнить только числители нельзя. Сначала дроби заменяют равными им дробями с общим знаменателем: тогда обе записи считают одинаковые по размеру доли. Например, ½ и ⅓ превращаются в 3/6 и 2/6. После этого достаточно сравнить 3 и 2, не забывая, что исходные значения дробей сохранились.

На числовой прямой дроби располагают между целыми числами в соответствии с их величиной: чем дальше точка вправо, тем больше число. Например, ⅓ < ½ < ⅔ < ¾: точки стоят именно в таком порядке слева направо. Смешанные числа сначала сравнивают по целым частям, потому что целое число единиц задаёт основной размер. Если целые части равны, сравнивают дробные части по знакомым правилам.

Способы сравнения дробей

Таблица подсказывает, какое правило выбрать в зависимости от записи дробей. Сначала проверь знаменатели и числители; для разных знаменателей найди общий знаменатель. После сравнения проверь, что знак направлен в нужную сторону.

Разбор задач

Задача 1. Сравнить дроби 3/11 и 8/11. Знаменатели уже одинаковы, поэтому не нужно преобразовывать дроби. Каждая из них состоит из одиннадцатых долей, и остаётся узнать, где таких долей больше. Число 8 больше числа 3, значит, больше и дробь 8/11.

1. Сравним числители: 3 < 8.
2. Знаменатели равны, поэтому сохраняем порядок числителей при сравнении дробей.
3. Запишем результат: 3/11 < 8/11.

Ответ: 3/11 < 8/11. Проверка: на числовой прямой точка 3/11 будет левее точки 8/11, поскольку третья доля из одиннадцати предшествует восьмой.

Задача 2. Сравнить дроби 5/6 и 7/9. Знаменатели различаются, поэтому числители 5 и 7 напрямую сравнивать нельзя: шестые и девятые части имеют разный размер. Найдём общий знаменатель 18, которому делятся и 6, и 9. Заменим дроби равными с таким знаменателем и сравним, сколько восемнадцатых долей в каждой.

1. Для 5/6 умножим числитель и знаменатель на 3: 5/6 = 15/18.
2. Для 7/9 умножим числитель и знаменатель на 2: 7/9 = 14/18.
3. Сравним числители: 15 > 14, значит, 15/18 > 14/18.
4. Вернёмся к исходным дробям: 5/6 > 7/9.

Ответ: 5/6 > 7/9. Приведение не изменило дроби, а только представило обе величины в восемнадцатых долях. Можно проверить результат по близости к единице: 5/6 отстаёт от целого на 1/6, а 7/9 — на 2/9.

Задача 3. Сравнить смешанное число 2 3/5 и дробь 13/6. Для удобства переведём смешанное число в неправильную дробь: так обе величины будут записаны обычными дробями. Чтобы это сделать, умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель. Затем найдём общий знаменатель и сравним полученные числители.

1. Преобразуем смешанное число: 2 3/5 = (2 · 5 + 3)/5 = 13/5.
2. Общий знаменатель для 5 и 6 — 30: 13/5 = 78/30, а 13/6 = 65/30.
3. Сравним числители: 78 > 65, значит, 78/30 > 65/30.
4. Запишем сравнение исходных чисел: 2 3/5 > 13/6.

Ответ: 2 3/5 > 13/6. В обоих числах по две целых единицы, поэтому их разница определяется дробными частями. Проверка показывает то же: 3/5 больше 1/6.

Типичные ошибки

• При одинаковых знаменателях иногда сравнивают знаменатели, хотя они равны, и не замечают числители. Так происходит, если путать количество долей с размером каждой доли. Проверь себя: при одинаковом размере частей больше та дробь, в которой частей взяли больше.

• При одинаковых числителях могут решить, что больший знаменатель делает дробь больше. Но единица при этом разделена на большее число частей, и каждая часть становится мельче. Для проверки представь доли единицы: например, 1/8 меньше 1/4, значит, и 3/8 меньше 3/4.

• При разных знаменателях иногда сравнивают одни числители и сразу ставят знак. Это неверно, поскольку доли могут иметь разный размер: например, сравнение 5 и 7 ещё ничего не говорит о 5/6 и 7/9. Сначала приведи дроби к общему знаменателю и только затем сравнивай числители.

• После преобразований можно перепутать направление знака или забыть порядок точек на числовой прямой. Причина обычно в том, что знак выбирают по памяти, не проверяя смысл записи. Прочитай результат словами и проверь, что точка большего числа находится правее меньшего.

Связь с другими темами

Чтобы сравнивать дроби, нужно понимать, что показывают числитель и знаменатель, знать равные дроби и основное свойство дроби: умножение или деление числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число не меняет значение дроби. Для приведения дробей понадобится находить общий знаменатель. Сокращение дробей помогает упростить записи, а выделение целой части и перевод смешанных чисел в неправильные позволяют выбрать удобный способ сравнения. Позже это умение пригодится при решении неравенств, действиях с дробями, работе с отношениями и пропорциями.

Что запомнить

• Сравнение дробей заканчивается записью одного из знаков >, < или =.
• При одинаковых знаменателях больше та дробь, у которой больше числитель.
• При одинаковых положительных числителях больше та дробь, у которой меньше знаменатель.
• Дроби с разными знаменателями удобно сначала привести к общему знаменателю.
• При приведении к общему знаменателю значения дробей не изменяются.
• На числовой прямой большее число расположено правее меньшего.
• Смешанные числа сначала сравнивают по целым частям, а при их равенстве — по дробным.