"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Свойства сложения и умножения дробей помогают менять порядок действий и группировать числа, не меняя результата. Благодаря этому выражения можно вычислять проще: например, сначала сложить дроби с одинаковыми знаменателями или сократить множители. Сложение и умножение обладают переместительным и сочетательным свойствами, а умножение распределяется относительно сложения и вычитания. Для вычитания и деления такие правила в общем случае не работают.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Переместительное свойство сложения дробей означает, что при перестановке слагаемых сумма не меняется: a/b + c/d = c/d + a/b. Здесь a/b и c/d — дроби, которые складывают. Свойство позволяет выбирать удобный порядок сложения.
Сочетательное свойство сложения дробей позволяет объединять слагаемые в группы в любом порядке: (a/b + c/d) + e/f = a/b + (c/d + e/f). Скобки показывают, какие дроби складываются первыми. Если сгруппировать удобные слагаемые, считать часто становится легче.
Для умножения дробей тоже действуют переместительное и сочетательное свойства: множители можно переставлять и объединять в группы, не меняя произведения. Например, a/b · c/d = c/d · a/b. Это помогает расположить множители так, чтобы проще было вычислить или сократить их.
Распределительное свойство умножения связывает умножение со сложением и вычитанием. Чтобы умножить сумму или разность на дробь, можно умножить эту дробь на каждый член в скобках и результаты сложить или вычесть. Такое раскрытие скобок помогает считать выражение по частям.
Чтобы понять переместительное свойство сложения, приведём дроби к общему знаменателю. Тогда a/b + c/d = ad/(bd) + bc/(bd) = (ad + bc)/(bd), а при перестановке получим (bc + ad)/(bd). Числа ad и bc складываются в любом порядке, поэтому числитель и вся сумма остаются прежними. Общий знаменатель позволяет сравнить обе записи напрямую.
При сложении трёх дробей можно привести их к одному общему знаменателю. Тогда каждое слагаемое будет дробью с этим знаменателем, а сложение дробей сведётся к сложению числителей. Группировка меняет лишь то, какие числители складываются первыми: например, (m + n) + p = m + (n + p). Поэтому сочетательное свойство сохраняет сумму и позволяет сначала объединить удобные слагаемые.
При умножении дробей числители перемножают между собой, а знаменатели — между собой: a/b · c/d = ac/(bd). Перестановка множителей меняет порядок записи чисел в произведении, но не его значение, ведь обычное умножение чисел переместительно. Если дробей несколько, все числители перемножаются и все знаменатели перемножаются, поэтому расстановка скобок тоже не меняет результата. Так обосновываются оба свойства умножения.
Распределительное свойство можно получить, приведя дроби в скобках к общему знаменателю: c/d + e/f = (cf + ed)/(df). Умножение результата на a/b даёт a(cf + ed)/(bdf), а раскрытие скобок в числителе приводит к acf/(bdf) + aed/(bdf). Это те же произведения, что получаются при вычислении a/b · c/d + a/b · e/f. Поэтому a/b · (c/d + e/f) = a/b · c/d + a/b · e/f; при разности вместо сложения сохраняется знак минус.
Свойства полезны, когда можно сначала сложить дроби с одинаковыми знаменателями или удобно сократить множители. Например, в произведении можно переставить дроби, чтобы числитель и знаменатель имели общий множитель. Однако вычитание и деление в общем случае не переместительны и не сочетательны: перестановка или другая группировка может изменить ответ. Значит, свойства нужно применять только к тем действиям, для которых они верны.
| Свойство | Сложение | Умножение | Ограничение |
|---|---|---|---|
| Переместительное: формула | a/b + c/d = c/d + a/b | a/b · c/d = c/d · a/b | Для вычитания и деления в общем случае не действует |
| Сочетательное: формула | (a/b + c/d) + e/f = a/b + (c/d + e/f) | (a/b · c/d) · e/f = a/b · (c/d · e/f) | Нельзя переносить на вычитание и деление |
| Распределительное относительно сложения: формула | Не применяется к одному сложению | a/b · (c/d + e/f) = a/b · c/d + a/b · e/f | Множитель умножается на каждый член скобок |
| Распределительное относительно вычитания: формула | Не применяется к одному сложению | a/b · (c/d − e/f) = a/b · c/d − a/b · e/f | Знак минус между произведениями сохраняется |
| Выполняется ли для вычитания и деления | Вычитание не переместительно и не сочетательно | Деление не переместительно и не сочетательно | Проверяй порядок действий и скобки |
В таблице удобно искать правило по названию свойства и сразу сверять формулу. Для сложения и умножения есть переместительное и сочетательное свойства, а распределительное относится к умножению на сумму или разность. Перед вычислением проверь ограничение: оно подскажет, какие перестановки и преобразования допустимы.
Задача 1. Вычислите 2/7 + 5/9 + 5/7. Сначала посмотрим, какие дроби удобнее объединить: у 2/7 и 5/7 одинаковые знаменатели. Переставим слагаемые и поставим рядом, чтобы не приводить их к общему знаменателю. Затем сложим их числители и добавим оставшуюся дробь.
Ответ: 1 5/9. Перестановка позволила выполнить один шаг без поиска общего знаменателя. При сложении дробей с одинаковыми знаменателями складываются числители, а знаменатель сохраняется.
Задача 2. Вычислите 3/8 · 7/11 · 8/9. При прямом умножении числителей и знаменателей появятся большие числа. Поэтому переставим множители: так числитель 8 одной дроби окажется рядом со знаменателем 8 другой. Их можно сократить до единицы до выполнения умножения.
Ответ: 7/33. Перестановка и сокращение избавили от необходимости перемножать все числа сразу. Сокращать здесь можно, потому что 8 — множители числителя и знаменателя произведения.
Задача 3. Вычислите 5/12 · (7/10 − 1/10) двумя способами и сравните результаты. Сначала найдём разность в скобках: у дробей одинаковые знаменатели. Затем вычислим произведение. Во втором способе распределим 5/12 на оба слагаемых разности, обязательно сохранив знак минус.
Ответ: 1/4 в обоих случаях. Совпадение подтверждает распределительное свойство. В первом способе проще сначала выполнить действие в скобках, а второй показывает, как умножение распределяется относительно разности.
При вычитании иногда меняют дроби местами, будто действует переместительное свойство: a/b − c/d при этом обычно не равно c/d − a/b. Так поступают, перенося правило сложения на похожую запись. Проверь себя на примере 5/7 − 2/7 = 3/7, а 2/7 − 5/7 = −3/7: результаты различаются.
Другая ошибка — перестановка делимого и делителя. Деление не переместительно, хотя дроби в записи могут выглядеть как множители. Например, 1/2 : 1/4 = 2, а 1/4 : 1/2 = 1/2. Чтобы проверить порядок, прочитай выражение словами: какое число делят и на какое.
При раскрытии скобок с разностью можно умножить на дробь только первый член, забыв о втором. Причина — внимание сосредоточено на начале выражения, а не на всей скобке. Проверь запись: перед каждым членом должен стоять множитель из-за скобок, а знак между произведениями должен повторять знак в скобках.
Нельзя сокращать слагаемые так, словно они множители: например, в сумме дробей нельзя зачёркивать одинаковые числа по разные стороны знака плюс. Сокращение возможно у общих множителей числителя и знаменателя, но сумма сама по себе не является произведением. Для проверки сначала запиши произведение явно или вычисли выражение без сокращения и сравни результаты.
Для работы со свойствами нужно уметь складывать, вычитать, умножать и делить обыкновенные дроби, а также сокращать дроби. Эти навыки позволяют проверить, что преобразование выполнено правильно, и довести вычисление до ответа. Свойства операций пригодятся при упрощении выражений, выборе удобного порядка действий и решении уравнений с дробями. Чем аккуратнее расставлены скобки и знаки, тем легче увидеть подходящее преобразование.
Можно ли менять слагаемые местами при сложении дробей?
Да. При перестановке слагаемых сумма не меняется: a/b + c/d = c/d + a/b. Чтобы проверить это, можно привести дроби к общему знаменателю.
Можно ли по-разному расставлять скобки в произведении дробей?
Да, множители можно группировать по-разному: (a/b · c/d) · e/f = a/b · (c/d · e/f). Произведение от этого не изменится.
Как раскрыть скобки, если перед ними стоит дробь?
Нужно умножить дробь перед скобками на каждый член внутри них. Например, a/b · (c/d − e/f) = a/b · c/d − a/b · e/f.
Можно ли переставлять дроби при вычитании или делении?
В общем случае нельзя: вычитание и деление не обладают переместительным свойством. Например, 5/7 − 2/7 не равно 2/7 − 5/7, а 1/2 : 1/4 не равно 1/4 : 1/2.
Почему нельзя сокращать слагаемые в дробном выражении?
Сокращать можно одинаковые множители в числителе и знаменателе, но не отдельные слагаемые. Сначала сумму нужно представить в виде произведения, если это возможно, и только потом сокращать общие множители.
§ 3. Свойства операций над дробями
