"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Прямоугольная система координат помогает точно указать положение точки на плоскости с помощью двух чисел. Для неё нужны две перпендикулярные числовые оси с общим началом: по одной отсчитывают первую координату, по другой — вторую. Такая система позволяет не только находить точки по заданным координатам, но и определять координаты уже отмеченных точек. Знаки чисел показывают, в какой части плоскости находится точка.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольная система координат — две взаимно перпендикулярные числовые оси с общим началом отсчёта и единичным отрезком. Оси пересекаются под прямым углом, а единичный отрезок задаёт масштаб. Такая система нужна, чтобы указывать положение точек на плоскости с помощью чисел.
Координатная плоскость — плоскость, на которой задана прямоугольная система координат. Горизонтальную ось обычно обозначают x, а вертикальную — y. Координатная плоскость позволяет изображать и сравнивать положение разных точек.
Координаты точки — пара чисел, определяющих положение точки на координатной плоскости. Их записывают в скобках через точку с запятой, например (3; 2). Первое число показывает перемещение по оси x, второе — по оси y, поэтому пара помогает точно найти точку.
Абсцисса и ордината — первая и вторая координаты точки соответственно. Абсциссу связывают с осью x, ординату — с осью y. Это названия помогают не перепутать, какое число в паре относится к каждой оси.
Чтобы отмечать точки на плоскости, одной числовой прямой недостаточно: она показывает положение только в одном направлении. Поэтому к оси абсцисс проводят вторую ось — ось ординат — так, чтобы она пересекала первую под прямым углом. Общая точка пересечения становится началом координат, а единичный отрезок на каждой оси задаёт масштаб отсчёта. Так образуется прямоугольная система координат, в которой можно описывать положение в двух направлениях.
Два числа нужны потому, что точка может быть смещена и вправо или влево, и вверх или вниз. Первое число показывает, насколько и в какую сторону нужно переместиться по оси x от начала координат, а второе — насколько и в какую сторону по оси y. Например, запись (3; 2) означает: сначала от начала отсчёта ориентируемся на 3 по горизонтали, затем на 2 по вертикали. Одно число не определило бы оба смещения, поэтому по нему нельзя было бы однозначно найти точку на всей плоскости.
При чтении пары координат сначала смотрят на абсциссу, а затем на ординату. Знак абсциссы показывает, с какой стороны от оси y искать точку: положительное значение направляет вправо, отрицательное — влево. Знак ординаты показывает положение относительно оси x: положительное значение ведёт вверх, отрицательное — вниз. Такое раздельное чтение помогает не менять координаты местами и правильно выбрать направление.
Оси пересекаются и делят плоскость на четыре области — координатные четверти. В каждой четверти знаки координат сочетаются по-разному: в первой оба положительные, во второй абсцисса отрицательна, а ордината положительна, в третьей оба числа отрицательные, в четвёртой абсцисса положительна, а ордината отрицательна. Это происходит потому, что знак каждого числа зависит от направления движения по своей оси. Точки на самих осях не принадлежат четвертям, поскольку одна из их координат равна нулю.
При построении точки сначала находят нужное положение по оси x, а затем от этого места перемещаются параллельно оси y на величину второй координаты. В обратной задаче из отмеченной точки проводят перпендикуляры к осям и считывают, где они пересекли числовые шкалы. Перпендикуляр нужен, чтобы перенести положение точки на каждую ось, не меняя расстояния и направления. Единичный отрезок позволяет определить числовое значение, а знаки — понять, в какую сторону от начала координат оно отложено.
| Элемент или характеристика | Что означает | Обозначение | Как определить |
|---|---|---|---|
| Ось абсцисс | Горизонтальная координатная ось | x | Положительное направление — вправо от начала |
| Ось ординат | Вертикальная координатная ось | y | Положительное направление — вверх от начала |
| Начало координат | Общая точка пересечения осей | O(0; 0) | Обе координаты равны нулю |
| Единичный отрезок | Отрезок, задающий масштаб на оси | 1 | По нему считают деления от начала |
| Координаты точки | Пара чисел, задающая положение точки | (x; y) | Сначала считывают x, затем y |
| Абсцисса точки | Первая координата точки | x | Считывают по оси абсцисс |
| Ордината точки | Вторая координата точки | y | Считывают по оси ординат |
| Координатные четверти | Четыре области между осями | I, II, III, IV | Определяют по знакам x и y |
Сначала найдите в таблице нужный элемент и его обозначение, затем сверьте способ определения. Чтобы проверить координаты точки, отдельно установите её положение относительно каждой оси. Для четверти проверяйте оба знака, а не только один.
Задача 1. На координатной плоскости построить точки A(3; 2), B(−4; 1), C(−2; −3) и D(0; −5). У каждой точки первая координата задаёт шаг по горизонтали, а вторая — по вертикали. Поэтому при построении важно каждый раз сохранять порядок чисел и учитывать их знаки.
Ответ: точки построены; D лежит на оси ординат, остальные точки — в соответствующих четвертях по знакам координат.
Задача 2. Определить координаты отмеченной точки M и назвать координатную четверть, в которой она расположена. Числа на рисунке не заданы, поэтому применим общий способ: он подойдёт для любого координатного чертежа с отмеченными делениями. Сначала нужно установить, где точка расположена относительно обеих осей, и только после этого записывать пару.
Ответ: координаты M — (считанное x; считанное y); четверть определяется сочетанием знаков этих чисел. Без самого чертежа числовые значения установить нельзя.
Задача 3. Даны точки A(−3; 4), B(3; 4), C(3; −2), D(−3; −2). Построить их и определить вид получившейся фигуры. У точек A и B одинаковые ординаты, а у B и C одинаковые абсциссы, поэтому соответствующие пары точек лежат на горизонтальной и вертикальной прямых. Сравним также расстояния между соседними точками.
Ответ: получившаяся фигура — квадрат со стороной 6 единиц. Равные абсциссы или ординаты помогают увидеть направление сторон, а разность координат — найти их длины.
Координаты записывают в обратном порядке. Так происходит, когда ученик начинает с вертикальной оси или путает названия координат. Проверка простая: первая координата всегда относится к x и называется абсциссой, вторая относится к y и называется ординатой. Перед записью можно проговорить порядок: «сначала по горизонтали, потом по вертикали».
Обе координаты откладывают по одной оси. Ошибка возникает, если воспринимать пару чисел как два последовательных шага вдоль одной линии. На самом деле первое число задаёт положение по оси x, а второе — по оси y; направления осей перпендикулярны. Проверьте построение: от точки, найденной по первой координате, второй шаг должен идти параллельно оси y.
Неверно выбирают знаки координат. Иногда запоминают только расположение четвертей, но забывают, что направления отсчитываются отдельно на каждой оси. Положительные значения x идут вправо, отрицательные — влево; положительные y идут вверх, отрицательные — вниз. Для самопроверки отметьте положение точки относительно каждой оси и только потом назовите знаки.
Неправильно выбирают начало или единичный отрезок. Началом координат является пересечение осей, его координаты всегда (0; 0), а не произвольная точка на чертеже. Ошибка с масштабом возникает, если считать каждую клетку единицей, хотя единичный отрезок может занимать несколько клеток. Перед построением найдите пересечение осей и отметьте, какому расстоянию соответствует одна единица.
Для работы с координатами нужны знания о положительных и отрицательных числах, числовой прямой и сравнении чисел. Единичный отрезок связан с масштабом: без него нельзя правильно считать расстояния между делениями. Позже координатная плоскость поможет строить графики функций и изображать геометрические фигуры. Координаты также применяются в уравнениях, геометрии, навигации и при описании положения объектов.
Почему координаты точки записывают именно в порядке (x; y)?
Сначала записывают абсциссу x — координату по горизонтальной оси, затем ординату y — по вертикальной. Такой порядок принят для всех точек, поэтому он позволяет однозначно понять, какое число относится к каждой оси.
Как построить точку, если одна из её координат равна нулю?
Если абсцисса равна нулю, точка лежит на оси ординат: нужно от начала координат отложить ординату по этой оси. Если нулю равна ордината, точка лежит на оси абсцисс и определяется только абсциссой.
Как определить координаты точки по рисунку?
Из точки мысленно или с помощью линейки проводят перпендикуляры к обеим осям. По месту пересечения с осью x считывают абсциссу, а по оси y — ординату, не забывая о знаках.
Почему точка с отрицательной абсциссой находится слева от оси ординат?
На оси абсцисс положительные числа расположены справа от начала координат, а отрицательные — слева. Поэтому отрицательная первая координата означает, что точка находится левее оси ординат.
Как понять, в какой координатной четверти находится точка?
Нужно определить знаки обеих координат. В первой четверти знаки (+; +), во второй (−; +), в третьей (−; −), в четвёртой (+; −). Если одна координата равна нулю, точка лежит на оси, а не в четверти.
§ 1. Прямоугольная система координат
