§ 2. Симметрия относительно координатных осей

Определения и обозначения

Координатная плоскость — это плоскость с двумя перпендикулярными координатными осями: горизонтальной Ox и вертикальной Oy. Они пересекаются в начале координат и делят плоскость на части. Положение точки задают парой чисел (x; y): первое число называют абсциссой, второе — ординатой. По этой паре можно найти точку на плоскости и записать её положение.

Симметрия относительно оси — отражение относительно прямой, при котором точка переходит в точку на таком же расстоянии от прямой, но по другую сторону. Ось играет роль линии отражения, как поверхность зеркала. Это понятие помогает описывать, как расположены одинаковые части фигуры или где находится точка, симметричная заданной.

Точки, симметричные относительно оси, находятся по разные стороны от неё на равном расстоянии. Ось проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, и перпендикулярна этому отрезку. Поэтому, чтобы построить отражение, достаточно отложить через ось такое же расстояние, как у исходной точки. Это также даёт способ проверить построение.

У точек, симметричных относительно координатных осей, одна координата сохраняется, а другая меняет знак. При отражении относительно Ox точка (x; y) переходит в (x; −y), а относительно Oy — в (−x; y). Буква x показывает горизонтальное положение, а y — вертикальное. Поэтому правило координат позволяет найти отражение без точного измерения на рисунке.

Как это устроено

Ось Ox горизонтальна, поэтому отражение относительно неё не сдвигает точку влево или вправо. Её горизонтальное положение, то есть абсцисса x, остаётся прежним. Меняется только высота точки: она оказывается на таком же расстоянии ниже или выше оси, но с другой стороны. Поэтому ордината меняет знак: (x; y) переходит в (x; −y).

Ось Oy, наоборот, вертикальна, и отражение относительно неё не меняет высоту точки. Значит, ордината y сохраняется. Точка перемещается вправо или влево на равное расстояние от оси, поэтому знак абсциссы меняется. Получаем правило (x; y) → (−x; y): например, точка справа от Oy отражается в точку слева от неё.

Эти правила следуют из расстояний до оси. Для Ox расстояние точки до оси задаётся величиной ординаты, а для Oy — величиной абсциссы; при отражении расстояние остаётся тем же, меняется только сторона. Отрезок между точкой и её отражением перпендикулярен оси, а сама ось проходит через его середину. Поэтому координата вдоль оси не меняется, а координата, показывающая положение поперёк неё, получает противоположный знак.

Если точка лежит на оси отражения, расстояние до неё равно нулю, и отражение не перемещает точку. Так, при отражении относительно Ox точка (x; 0) остаётся на месте. При отражении относительно Oy остаётся на месте точка (0; y). Если же точка лежит на одной оси, но отражается относительно другой, меняет знак её ненулевая координата: например, (0; 4) относительно Ox переходит в (0; −4).

Чтобы быстро найти отражение, сначала определи ось, затем измени знак только нужной координаты. На рисунке проверь, что точка оказалась по другую сторону оси, а расстояние до неё осталось равным. Также можно мысленно соединить точки: ось должна пересечь соединяющий их отрезок под прямым углом ровно посередине. Если исходная точка лежала на оси отражения, обе точки должны совпасть.

Координаты точки, симметричной точке A(x; y)

Сначала найди столбец нужной оси, а затем посмотри, какая координата меняется. Для записи результата сохрани одну координату и поставь противоположный знак у другой. Если точка лежит на оси отражения, её координата, перпендикулярная оси, равна нулю и остаётся нулём.

Разбор задач

Задача 1

Найти координаты точки, симметричной точке A(3; −2) относительно оси Ox. Поскольку отражение выполняется относительно горизонтальной оси, точка не меняет положение вправо или влево. Значит, абсцисса останется равной 3. Ордината должна изменить знак, чтобы точка оказалась на другой стороне Ox.

1. Запишем координаты исходной точки: x = 3, y = −2.
2. При отражении относительно Ox оставим x = 3.
3. Изменим знак ординаты: −2 станет 2.

Ответ: (3; 2).

Задача 2

Точка B симметрична точке C(−4; 5) относительно оси Oy. Найти координаты B и отметить обе точки на координатной плоскости. Вертикальная ось Oy сохраняет высоту точки, поэтому ординаты C и B одинаковы. Абсцисса меняет знак, так как отражённая точка должна быть на другой стороне Oy. При построении обе точки окажутся на одинаковой высоте, но по разные стороны от вертикальной оси.

1. У исходной точки C абсцисса равна −4, а ордината — 5.
2. Сохраним ординату: у B будет y = 5.
3. Поменяем знак абсциссы: −4 станет 4, поэтому B(4; 5).
4. Отметим C слева от Oy на 4 единицы и B справа от Oy на 4 единицы; обе точки расположим на высоте 5.

Ответ: B(4; 5). Проверка: точки находятся по разные стороны от Oy и на равных расстояниях от неё.

Задача 3

Точка M симметрична точке N относительно оси Ox, а точка P симметрична M относительно оси Oy. Найти координаты M и P, если N(−2; −3). Здесь нужно выполнить отражения одно за другим и не менять координаты одновременно. Сначала отразим N относительно горизонтальной оси, затем результат — относительно вертикальной. На каждом шаге меняется знак координаты, связанной с выбранной осью.

1. Для отражения N(−2; −3) относительно Ox оставим абсциссу −2.
2. Поменяем знак ординаты: −3 станет 3, значит, M(−2; 3).
3. Теперь отразим M относительно Oy: ордината 3 сохраняется.
4. Поменяем знак абсциссы −2 на 2, поэтому P(2; 3).

Ответ: M(−2; 3), P(2; 3). При первом отражении изменился знак ординаты, при втором — абсциссы.

Типичные ошибки

Некоторые меняют знак сразу у обеих координат, хотя отражение выполняется относительно одной оси. Так путают его с отражением относительно начала координат, при котором меняются оба знака. Проверь себя: назови ось и измени знак только у координаты, отвечающей за положение поперёк неё. Например, относительно Ox должно получиться (x; −y), а не (−x; −y).

При отражении относительно Ox иногда меняют знак абсциссы. Это происходит, если забыть, что Ox горизонтальна и отражение меняет вертикальное положение, а не движение влево или вправо. Чтобы проверить ответ, сравни координаты: абсцисса должна сохраниться, ордината — изменить знак. На рисунке точки должны находиться на одной вертикали.

При отражении относительно Oy встречается обратная ошибка: меняют знак ординаты. Вертикальная ось меняет положение точки слева направо, поэтому изменяется абсцисса, а высота остаётся прежней. Сверь ординаты исходной и отражённой точек: они должны совпасть. На рисунке точки должны находиться на одной горизонтали.

Ещё одна ошибка — считать, что у точки на оси нет симметричной точки. На самом деле отражение точки относительно оси, на которой она лежит, оставляет её на месте: расстояние до оси равно нулю. Например, точка (0; 4) при отражении относительно Oy остаётся (0; 4). Проверь, равна ли нулю координата, которая при этом отражении меняет знак.

Связь с другими темами

Для работы с симметрией нужно уметь отмечать точки на координатной плоскости и читать их абсциссу и ординату. Без этого трудно понять, в какую сторону переместится отражённая точка и какие координаты у неё изменятся. Позже эти правила пригодятся при изучении симметрии относительно начала координат и построении фигур на плоскости. Они также помогают замечать симметрию графиков функций относительно координатных осей.

Что запомнить

• При отражении относительно Ox точка (x; y) переходит в точку (x; −y).
• При отражении относительно Oy точка (x; y) переходит в точку (−x; y).
• При отражении относительно Ox абсцисса сохраняется.
• При отражении относительно Oy ордината сохраняется.
• Симметричные точки находятся на равных расстояниях от оси симметрии.
• Точка на оси симметрии при отражении относительно этой оси не меняет положения.