§ 3. Расстояние между точками

Определения и обозначения

Расстояние между двумя точками на числовой прямой — длина отрезка, который соединяет эти точки. Его можно измерить, посчитав единичные отрезки между точками или вычислив по их координатам. Расстояние помогает определить, насколько далеко одна точка находится от другой. Оно выражается неотрицательным числом.

Координата точки на числовой прямой — число, которым обозначено её положение на прямой. Например, запись A(−3) означает, что точка A имеет координату −3 и находится слева от нуля. По координатам можно сравнить положение точек и найти расстояние между ними. Координата сообщает о положении, а не сама по себе о длине отрезка.

Модуль числа — расстояние от точки с этим числом до начала координат, то есть до нуля. Модуль неотрицателен: например, |−4| = 4 и |4| = 4. Это понятие нужно, чтобы расстояние можно было записать без знака минус. В формуле расстояния модуль помогает получить правильную длину при любом порядке координат.

Как это устроено

Пусть координаты двух точек равны a и b. Разность a − b показывает, на сколько единиц одна координата отличается от другой, но она может оказаться отрицательной, если вычитаемое число больше. Например, 2 − 7 = −5, хотя длина отрезка равна 5. Поэтому расстояние записывают как |a − b|: модуль сохраняет величину разности и убирает возможный минус.

Если известно, какая координата меньше, модуль можно не вычислять отдельно. При a ≤ b точка с координатой a расположена левее, а точка с координатой b — правее, поэтому число единичных шагов между ними равно b − a. Например, от −2 до 3 нужно пройти пять единиц: 3 − (−2) = 5. Вычитание меньшего числа из большего сразу даёт неотрицательный результат.

Когда обе точки справа от нуля, их координаты положительны, а расстояние находится по разности большей и меньшей координат. Если обе точки слева от нуля, координаты отрицательны, но порядок на прямой всё равно определяется обычным сравнением чисел: −1 правее −6. Поэтому в обоих случаях удобно использовать модуль разности координат. Фраза «разность модулей» не всегда задаёт правильный порядок вычисления, а |a − b| подходит для любых двух точек.

Если точки находятся по разные стороны от нуля, путь между ними проходит через начало координат. Сначала можно пройти от одной точки до нуля, затем от нуля до другой. Эти части имеют длины |a| и |b|, поэтому их складывают: расстояние равно |a| + |b|. Например, от −3 до 4 нужно пройти 3 единицы до нуля и ещё 4 после него.

Перестановка точек не меняет длину отрезка между ними. При смене порядка координат меняется только знак разности: b − a является противоположным числом для a − b, а модули этих разностей равны. Поэтому |a − b| = |b − a|. Равными могут быть и расстояния от нуля до точек по разные стороны от него: например, точки −5 и 5 удалены от начала координат на 5 единиц каждая.

Как найти расстояние между точками на координатной прямой

Сначала определите, где расположены точки: по одну сторону от нуля, по разные стороны или одна из них совпадает с нулём. Затем выберите подходящий способ вычисления по таблице. В любом случае результат должен быть неотрицательным; если точки совпадают, расстояние равно нулю.

Разбор задач

Задача 1. Найдите расстояние между точками A(2) и B(7) на числовой прямой. Обе координаты положительные, значит, точки находятся справа от нуля. Координата 2 меньше координаты 7, поэтому из большей координаты вычитаем меньшую.

1. Запишем координаты: a = 2 и b = 7.
2. Применим правило: 7 − 2 = 5.
3. Проверим результат: от 2 до 7 можно отсчитать пять единичных шагов.

Ответ: 5.

Задача 2. Найдите расстояние между точками C(−6) и D(−1). Обе координаты отрицательные, следовательно, точки расположены слева от нуля. Точка с координатой −6 находится левее точки с координатой −1, поэтому расстояние можно найти вычитанием −6 из −1. Также можно взять модуль разности координат.

1. Запишем формулу: |a − b|.
2. Подставим координаты: |−6 − (−1)| = |−5|.
3. Найдём модуль: |−5| = 5.

Ответ: 5.

Задача 3. Найдите расстояние между точками E(−4) и F(5), а затем укажите координаты точек, удалённых от начала координат на такое же расстояние. Первая точка находится слева от нуля, а вторая — справа, поэтому отрезок между ними пересекает начало координат. Сначала сложим расстояния от каждой точки до нуля, а затем отметим на прямой обе точки, удалённые от нуля на найденное число.

1. Найдём модули координат: |−4| = 4 и |5| = 5.
2. Сложим их: 4 + 5 = 9. Это расстояние между E и F.
3. На расстоянии 9 от нуля есть точка справа с координатой 9 и точка слева с координатой −9.

Ответ: расстояние между E и F равно 9; искомые координаты — −9 и 9.

Типичные ошибки

• Вычитают координаты в произвольном порядке и записывают отрицательный результат как расстояние. Так происходит, если забыть, что результатом должна быть длина, а не направленное смещение. Возьмите модуль разности или вычтите меньшую координату из большей и проверьте, что ответ неотрицателен.
• При точках по разные стороны от нуля вычитают модули координат. Ошибка возникает, если не учесть, что путь проходит от первой точки до нуля и затем от нуля до второй. Сложите модули и проверьте, что итог равен сумме двух участков пути.
• Считают отрицательную координату отрицательным расстоянием. Путают знак положения точки со знаком длины отрезка. Представьте точку на прямой: минус указывает, что она слева от нуля, а расстояние до неё будет положительным.
• Путают координату точки с расстоянием до нуля. Например, у точки с координатой −4 расстояние до начала координат не равно −4. Найдите модуль координаты: |−4| = 4, а затем проверьте ответ подсчётом единичных шагов от нуля.

Связь с другими темами

Для работы с расстояниями нужно уметь отмечать числа на координатной прямой, сравнивать целые числа и находить модуль. Эти знания помогают понять, где находится каждая точка и сколько шагов разделяет точки. Если забыть порядок чисел на прямой, легко ошибиться со знаком при вычитании. Поэтому перед вычислением полезно сравнить координаты или представить их расположение.

Расстояние между точками пригодится в задачах на координатную прямую и при нахождении середины отрезка. Оно также помогает перейти к координатам точек на плоскости: там положение описывают двумя числами, а расстояния изучают между точками с такими координатами. Навык находить длину по координатам остаётся тем же по смыслу. Меняется способ записи, но расстояние по-прежнему неотрицательно.

Что запомнить

• Расстояние между точками с координатами a и b равно |a − b|.
• Расстояние всегда неотрицательно.
• Порядок точек не влияет на расстояние.
• Расстояние от точки с координатой a до нуля равно |a|.
• Точки по разные стороны от нуля разделяет сумма модулей их координат.
• Совпадающие точки находятся на расстоянии 0.