"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Отношение помогает сравнить два числа или две величины с помощью деления. Запись a:b означает, что первое число a делят на второе b, поэтому b не может быть нулём. Если сравнивают величины, их сначала выражают в одинаковых единицах. Полученное частное показывает, во сколько раз одна величина больше другой или какую часть она составляет. Это знание нужно для решения задач на масштаб и других задач сравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое отношение — это частное двух чисел, причём второе число не равно нулю. Его записывают a:b или в виде дроби a/b: обе записи означают, что a делят на b. Такая запись нужна, чтобы сравнить числа не вычитанием, а делением.
Числа, образующие отношение a:b, называют его членами. Первое число a — предшествующий член, а второе число b — последующий член. Эти названия помогают не перепутать порядок: отношение первого числа ко второму вычисляют как a/b.
Отношение величин — это частное двух величин одного рода, выраженных в одинаковых единицах. Оно показывает, во сколько раз первая величина больше второй или какую часть первой составляет вторая. Например, так сравнивают длины, массы или время, предварительно записав их в одинаковых единицах.
Масштаб — это отношение длины отрезка на изображении к соответствующей длине в действительности. Перед вычислением обе длины выражают в одинаковых единицах, например в сантиметрах. Масштаб нужен, чтобы по плану или карте находить настоящие расстояния и, наоборот, изображать реальные размеры.
Запись a:b возникает из деления a на b, поэтому её можно переписать как дробь a/b. Например, 18:6 = 18/6 = 3: в записи с двоеточием и в дроби выполняется одно и то же действие. Если b = 0, деление невозможно, поэтому отношение a:0 не имеет значения. Проверяй второй член до вычислений, даже если пример выглядит простым.
Отношение можно упрощать, умножая или деля оба его члена на одно и то же ненулевое число. Например, (12·2)/(4·2) = 24/8 = 3, как и 12/4 = 3: числитель и знаменатель изменились одинаково, поэтому частное сохранилось. Это следует из свойства дроби: умножение или деление её числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число не меняет значение дроби. Поэтому отношение 18:6 можно разделить на 6 и получить 3:1.
При сравнении величин сначала приводят их к одинаковым единицам, потому что деление сравнивает одинаковые мерки. Если первая длина равна 2 м, а вторая — 50 см, удобно перевести 2 м в 200 см и вычислить 200:50 = 4. Значит, первая длина в 4 раза больше второй. Если поменять порядок, получится 50:200 = ¼: это показывает, какую часть первая из этих двух длин составляет от второй.
Для величин одного рода значение отношения не зависит от выбора единицы измерения, если обе величины выражены в ней одинаково. Например, 2 м : 50 см можно записать как 200 см : 50 см = 4, а после перевода в метры — как 2 м : 0,5 м = 4. Обе длины при переходе от метров к сантиметрам умножаются на 100, поэтому их частное не меняется. Однако вычислять 2:50 нельзя: числа записаны при разных единицах.
Масштаб связывает размер изображения с размером настоящего объекта: в отношении первым записывают длину на изображении, вторым — соответствующую длину в действительности. Масштаб 1:n означает, что одной единице длины на изображении соответствуют n таких же единиц в действительности. Например, при масштабе 1:100 отрезку 1 см на плане соответствует 100 см в реальности. Чтобы пользоваться масштабом, нужно сохранять порядок величин и одинаковые единицы.
| Что сравниваем | Как записываем | Что показывает | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Два числа | a:b = a/b | Их частное: во сколько раз первое больше второго или какую часть составляет | Второй член не равен нулю; порядок чисел верный |
| Две величины одного рода | Первая величина : вторая величина | Во сколько раз первая величина больше второй или какую часть составляет | Величины выражены в одинаковых единицах |
| Единицы измерения перед вычислением | Сначала переводим обе величины в одну единицу | Позволяет сравнить одинаковые мерки | Переведены обе величины, а не только одна |
| Значение знаменателя (второго члена) | Проверяем b в a:b | Определяет, можно ли выполнить деление | b ≠ 0 |
| Интерпретация результата | Объясняем найденное частное словами | Во сколько раз или какую часть составляет | Не перепутаны величины и порядок отношения |
Пользуйся таблицей как проверкой: сначала определи, сравниваешь ли числа или величины, затем выбери запись. Для величин проверь единицы, а для любого отношения — ненулевой второй член. После вычисления обязательно объясни, что означает полученное частное.
Найти значение отношения 18:6 и записать его в виде дроби. Здесь сравниваются два числа, поэтому нужно разделить первый член на второй. Второй член равен 6, а значит, деление возможно.
Ответ: 18:6 = 18/6 = 3.
Найти отношение 2 м к 50 см и объяснить результат. Нельзя сразу делить 2 на 50: числа относятся к разным единицам. Переведём длины в сантиметры, чтобы сравнить их при одной мерке.
Ответ: 2 м : 50 см = 4; первая длина в 4 раза больше второй.
На плане длина комнаты равна 8 см, а в действительности — 6 м. Найти масштаб плана и определить, какой длине на плане соответствует стена длиной 9 м. Масштаб — отношение изображения к действительности, поэтому длину на плане ставим первой. Сначала приведём реальные длины к сантиметрам.
Ответ: масштаб плана 1:75; стене длиной 9 м соответствует отрезок длиной 12 см на плане.
Делят первый член на второй, не проверив, что второй не равен нулю. Так происходит, когда отношение воспринимают только как запись с двоеточием и забывают, что это деление. Проверь второй член до вычисления: если он равен нулю, отношение не определено.
Делят числа, записанные при разных единицах, например 2 м на 50 см как 2 на 50. Ошибка появляется, когда смотрят только на числа и не учитывают, что мерки разные. Перед делением переведи обе величины в одинаковые единицы, а затем проверь, что отношение сравнивает равные по названию мерки.
При упрощении меняют только один член отношения. Можно по ошибке сократить или разделить лишь первое число, забыв о втором, но тогда частное изменится. Чтобы проверить себя, сравни исходное и полученное частные: упрощать разрешается делением или умножением обоих членов на одно и то же ненулевое число.
Путают порядок величин и получают обратное отношение. Например, отношение a к b равно a/b, а не b/a; при перестановке членов обычно меняется и значение, и смысл сравнения. Перед вычислением назови величины по порядку: что стоит первым, то дели на то, что стоит вторым.
Чтобы работать с отношениями, нужно уметь делить натуральные числа и дроби, понимать запись дроби и переводить величины из одних единиц измерения в другие. Эти навыки помогают вычислить частное и правильно истолковать его. Если перевод единиц ещё вызывает трудности, сначала потренируйся на длинах, массах и времени.
Отношения пригодятся при изучении пропорций и масштаба, а также при решении задач на скорость и сравнение величин. Во всех этих случаях важно соблюдать порядок членов и понимать, что показывает частное. Умение переводить единицы позволяет использовать один и тот же способ в задачах с разными величинами.
Чем отношение отличается от разности?
Разность получают вычитанием: она показывает, на сколько одно число отличается от другого. Отношение получают делением: оно показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть составляет.
Почему второй член отношения не может быть равен нулю?
Отношение a:b означает деление a на b. Делить на ноль нельзя, поэтому при b = 0 отношение не определено.
Можно ли менять оба члена отношения и не менять его значение?
Да, если умножить или разделить оба члена на одно и то же ненулевое число. Значение частного при этом останется прежним, а само отношение можно записать проще.
Почему перед сравнением величин нужно привести их к одинаковым единицам?
Деление должно сравнивать величины, выраженные в одной и той же единице. Например, метры и сантиметры сначала переводят в одну единицу, иначе делят только числа при разных мерках.
Как понять, что означает масштаб 1:100?
Это означает, что одна единица длины на изображении соответствует 100 таким же единицам в действительности. Например, 1 см на плане соответствует 100 см, то есть 1 м, в действительности.
§ 1. Числовые отношения и отношения величин
