"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Пропорция — это равенство двух отношений, например 2/3 = 8/12. Она помогает сравнивать величины и находить неизвестные числа в задачах. Главное свойство пропорции связывает её члены: произведение крайних равно произведению средних. Поэтому, чтобы проверить пропорцию или найти неизвестный член, часто достаточно перемножить числа крест-накрест — делить отношения не обязательно. При этом знаменатели должны быть ненулевыми.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отношением двух чисел a и b называют частное a и b, если b ≠ 0; его записывают дробью a/b. Такое отношение показывает, во сколько раз число a больше числа b, или какую часть от b составляет a. Например, отношение 6 к 3 равно 6/3 = 2: число 6 вдвое больше числа 3. Отношения нужны, чтобы сравнивать числа и величины.
Пропорция — это равенство двух отношений, например a/b = c/d, где b ≠ 0 и d ≠ 0. Оно означает, что оба отношения имеют одно и то же значение. Так, равенство 2/3 = 8/12 является пропорцией, поскольку обе дроби равны 2/3. Пропорции помогают узнавать, сохраняется ли одно и то же соотношение между величинами.
В записи a/b = c/d числа a и d называют крайними членами, а b и c — средними. Крайние стоят в начале и в конце пропорции, средние — между ними. Такое название важно не само по себе: оно помогает правильно применять свойство пропорции. Например, в 2/3 = 8/12 крайние члены — 2 и 12, а средние — 3 и 8.
Чтобы получить пропорцию, нужно записать равенство двух отношений. Проверить его можно, найдя значение каждой дроби и сравнив результаты: если они одинаковы, равенство верно. Например, 2/3 и 8/12 равны, потому что 8/12 можно сократить на 4 и получить 2/3. Такой способ понятен, но иногда деление или сокращение дробей требует лишних вычислений.
Для пропорции a/b = c/d можно умножить обе части равенства на b и d. Знаменатели b и d не равны нулю, поэтому при умножении и сокращении не возникает деления на ноль. В результате получается ad = bc: произведение крайних членов равно произведению средних. Это основное свойство пропорции, которое превращает равенство дробей в удобное равенство произведений.
Верно и обратное утверждение: если ad = bc, а b и d не равны нулю, то a/b = c/d. Чтобы увидеть причину, разделим обе части равенства ad = bc на bd. Слева останется a/b, а справа — c/d. Условие о ненулевых знаменателях необходимо: если знаменатель равен нулю, соответствующее отношение не определено.
Основное свойство позволяет проверить пропорцию, не вычисляя отдельно значения отношений. Сначала отмечают крайние и средние члены, затем находят два произведения и сравнивают их. Если они равны, то при ненулевых знаменателях отношения действительно равны; если произведения различаются, пропорция неверна. Так можно проверять числа даже тогда, когда деление неудобно.
Чтобы найти неизвестный член, заменяют пропорцию равенством перекрёстных произведений. В полученном равенстве обычно остаётся одно неизвестное, и его можно найти обычным решением уравнения. Например, если неизвестное входит в произведение, обе части равенства делят на известный ненулевой множитель. После вычислений полезно подставить найденное значение обратно в исходную запись и проверить равенство отношений.
| Что рассматриваем | Запись или правило | Пояснение |
|---|---|---|
| Общий вид пропорции | a/b = c/d, b ≠ 0, d ≠ 0 | Равенство двух отношений. |
| Крайние и средние члены | Крайние: a и d; средние: b и c | Крайние стоят по краям записи, средние — между ними. |
| Основное свойство пропорции | a/b = c/d ⇒ ad = bc | Произведение крайних равно произведению средних. |
| Обратное утверждение | ad = bc ⇒ a/b = c/d | Условие работает, если b и d не равны нулю. |
| Проверка пропорции | Сравнить ad и bc | Равные произведения подтверждают пропорцию при ненулевых знаменателях. |
Пользуйся таблицей так: сначала найди крайние и средние члены по их местам в записи, а затем составь два произведения. Если решаешь задачу на проверку, сравни эти произведения. Если ищешь неизвестное, приравняй их и реши полученное уравнение.
Нужно проверить равенство отношений в указанном порядке, не выполняя деление. В записи a/b = c/d крайние члены — первое и последнее числа, то есть 2 и 12. Средние — 3 и 8. Сравним произведения крайних и средних: если они совпадут, пропорция верна.
Ответ: да, 2/3 = 8/12 — верная пропорция. Мы сравнили перекрёстные произведения, поэтому находить значение каждой дроби отдельно не понадобилось. Если бы получились разные произведения, равенство было бы неверным.
Неизвестное x стоит в числителе первого отношения. По основному свойству произведение крайних членов равно произведению средних. В этой записи крайние члены — x и 15, а средние — 5 и 6. Составим уравнение и выразим из него x.
Ответ: x = 2. Подстановка подтверждает, что найденное значение сохраняет равенство отношений. При делении уравнения на 15 проблем нет, поскольку это число не равно нулю.
Здесь неизвестное входит в одно из отношений, а остальные числа — десятичные дроби и 10. Чтобы не делить дроби, сразу используем основное свойство. Крайние члены — 3,6 и 10, средние — 4,8 и x. Получится уравнение, которое удобно решить делением на 4,8.
Ответ: x = 7,5. При делении 36 на 4,8 можно умножить делимое и делитель на 10 и получить 360/48 = 7,5. Проверка показывает, что оба отношения равны 0,75, поэтому найденное значение подходит.
Перемножают соседние или одноимённые члены, а не крайние и средние. Так происходит, если ориентироваться только на положение чисел рядом друг с другом, не разбирая запись. Перед вычислением отметь крайние члены по краям пропорции, а средние — внутри. Затем проверь, что умножены пары «крайние» и «средние».
Записывают неверное равенство произведений, например перепутывают числа при перекрёстном умножении. Часто причина в том, что члены не подписали или не выделили до начала вычислений. Чтобы проверить запись, снова обозначь пропорцию как a/b = c/d: нужное равенство имеет вид ad = bc. Если переставить буквы в проверке, можно сравнить полученные пары ещё раз.
Делят на ноль, переходя от равенства произведений к пропорции или решая уравнение. Забывают, что отношение определено только при ненулевом знаменателе, а уравнение нельзя делить на нулевой множитель. До деления посмотри, на какое число собираешься делить и не является ли оно нулём. В пропорции знаменатели b и d должны быть ненулевыми.
Не проверяют найденное неизвестное и из-за этого могут пропустить арифметическую ошибку. Например, при умножении десятичных дробей или делении легко неверно поставить запятую. Подставь ответ в исходную пропорцию и сравни значения отношений либо повторно проверь равенство перекрёстных произведений. Если равенство не выполняется, вернись к вычислениям.
Для работы с пропорциями нужно уметь находить значение отношения и выполнять действия с обыкновенными и десятичными дробями. Если эти действия пока вызывают трудности, полезно повторить сокращение дробей, умножение и деление. Пропорции пригодятся при решении задач на прямую и обратную пропорциональность, где сравнивают изменения величин. С их помощью также решают задачи на масштаб и проценты.
Что называется пропорцией?
Пропорция — это равенство двух отношений, например 2/3 = 8/12. Она показывает, что отношения чисел слева и справа имеют одинаковое значение.
Как определить крайние и средние члены пропорции?
В записи a/b = c/d крайними называют числа a и d, стоящие на концах равенства. Числа b и c между ними — средние члены.
Почему в пропорции произведение крайних членов равно произведению средних?
Если a/b = c/d, можно умножить обе части равенства на b и d: знаменатели сократятся, и получится ad = bc. Это возможно, потому что b и d не равны нулю.
Как проверить, верно ли составлена пропорция?
Найди произведение крайних членов и произведение средних. Если произведения равны, то при ненулевых знаменателях пропорция верна.
Как найти неизвестный член пропорции?
Запиши равенство произведений крайних и средних членов. Затем реши полученное уравнение и, если возможно, проверь ответ подстановкой в исходную пропорцию.
§ 2. Пропорция и её основное свойство
