"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Прямая пропорциональность связывает две величины так, что при изменении одной другая изменяется во столько же раз. Например, стоимость покупки при постоянной цене зависит от количества товара. Главный признак такой зависимости — неизменное отношение y к x, а основная формула — y = kx. По ней можно находить неизвестные значения, проверять таблицы и строить график — прямую, проходящую через начало координат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямая пропорциональность — зависимость, при которой отношение двух величин остаётся постоянным. Обычно величины обозначают буквами x и y, а их отношение записывают как y/x. Это определение помогает узнать, меняются ли величины согласованно: если одну увеличить в несколько раз, другая увеличивается во столько же раз.
Коэффициент пропорциональности — постоянное число k, связывающее величины в равенстве y = kx. Его можно найти по любой известной паре значений: k = y/x, если x не равно нулю. Коэффициент нужен, чтобы описать конкретную зависимость, например цену одного килограмма товара.
Формула прямой пропорциональности — запись зависимости в виде y = kx, где k не изменяется. Она показывает, как получить значение y: умножить значение x на одно и то же число k. Формула позволяет находить неизвестные значения и проверять, подходит ли пара величин к заданной зависимости.
График прямой пропорциональности — прямая, проходящая через начало координат. Начало координат — точка с координатами (0; 0), и она подходит формуле, потому что при x = 0 значение y тоже равно нулю. График помогает увидеть зависимость и сравнить, как меняются величины при разных значениях k.
При прямой пропорциональности каждому значению x соответствует значение y так, что их отношение не меняется. Например, если y в три раза больше x, то для каждой подходящей пары y/x = 3. Поэтому, даже когда сами числа меняются, их отношение остаётся одинаковым: меняется масштаб пары, а не связь между величинами.
Постоянное отношение можно обозначить одной буквой k: y/x = k. Чтобы получить запись без дроби, умножим обе части равенства на x; тогда получится y = kx. Значит, формула не вводит новое правило, а коротко записывает уже известное постоянное отношение величин.
Если известна одна пара значений, например x = 3 и y = 12, то коэффициент находится делением: k = 12/3 = 4. Это число показывает, что соответствующее y в четыре раза больше x. Для прямой пропорциональности найденное k должно подходить не только к одной паре, но и ко всем остальным.
Когда известны k и x, значение y получают умножением: y = kx. Причина проста: коэффициент k показывает, сколько единиц y приходится на одну единицу x. Если же известно y и ненулевое k, из той же формулы можно найти x делением: x = y/k.
График получается прямой, потому что при изменении x на одинаковую величину значение y каждый раз изменяется в k раз больше этой величины. Например, для y = 2x точки (0; 0), (1; 2) и (2; 4) лежат на одной прямой. При большем положительном k прямая круче поднимается вправо; все такие графики проходят через (0; 0), так как формула при x = 0 даёт y = 0.
| Признак | Запись или вид | Что означает |
|---|---|---|
| Постоянное отношение величин | y/x = k | При изменении x отношение y к x не меняется |
| Формула зависимости | y = kx | Значение y получают умножением x на k |
| Коэффициент пропорциональности | k = y/x | Показывает, во сколько раз y связано с x |
| Таблица значений | Во всех парах y/x = k | Данные соответствуют одной и той же зависимости |
| График | Прямая через точку (0; 0) | Начало координат принадлежит графику |
Чтобы проверить таблицу, вычисли отношение y/x для каждой пары и сравни результаты. Если они одинаковы, это число является k, а формулу можно записать как y = kx. Строка о графике помогает проверить построение: прямая должна проходить через начало координат.
Величина y прямо пропорциональна величине x. Известно, что при x = 3 значение y = 12. Найдите y при x = 5. Сначала найдём число, которое связывает величины, а затем применим его к новому значению x.
Ответ: при x = 5 значение y равно 20. Проверка проста: отношение 20/5 равно 4, то есть получился тот же коэффициент.
Определите, задаёт ли таблица прямую пропорциональность: x: 2, 4, 7; y: 6, 12, 21. Если да, найдите коэффициент пропорциональности. Нельзя судить только по тому, что значения увеличиваются: нужно проверить отношение в каждой паре.
Ответ: таблица задаёт прямую пропорциональность, коэффициент равен 3. Проверка всех пар нужна потому, что одного совпадения недостаточно, чтобы подтвердить постоянство отношения.
За 4 кг яблок заплатили 280 рублей. Сколько будут стоить 7 кг яблок при той же цене за килограмм? Стоимость зависит от массы прямо пропорционально, потому что цена каждого килограмма остаётся одной и той же. Поэтому сначала найдём стоимость единицы товара.
Ответ: 7 кг яблок будут стоить 490 рублей. Результат верен при условии, что цена за килограмм не меняется, как сказано в задаче.
Иногда прямую пропорциональность путают с любой линейной зависимостью и считают подходящей формулу y = kx + b. Но при ненулевом b значение y при x = 0 не равно нулю, поэтому график не проходит через начало координат. Проверь себя подстановкой x = 0: для прямой пропорциональности обязательно должно получиться y = 0.
Коэффициент иногда находят как x/y вместо y/x, потому что деление перепутано местами. Тогда получается обратное число, и равенство y = kx обычно не выполняется. Проверь вычисление: подставь k в формулу и убедись, что умножение x на k даёт исходное y.
Другая ошибка — проверять постоянство разности y − x вместо отношения y/x. Разность может меняться, хотя зависимость является прямой пропорциональностью, или случайно совпасть для отдельных пар. Вычисли отношение для каждой пары: именно его постоянство является признаком нужной зависимости.
При построении графика могут провести прямую, не проходящую через начало координат. Такое случается, если отметить только несколько точек и не проверить точку (0; 0). Подставь x = 0 в формулу y = kx: получается y = 0, поэтому начало координат обязательно должно лежать на графике.
Для изучения прямой пропорциональности нужны умения составлять отношения и находить неизвестный член пропорции. Также важно понимать, как записывают координаты точки: первое число показывает положение по оси x, второе — по оси y. Эти знания помогают проверять таблицы и строить графики.
Прямая пропорциональность встречается в практических задачах на цену и количество, скорость и время, массу и стоимость. Например, при неизменной цене общая стоимость зависит от количества товара, а при постоянной скорости пройденный путь связан со временем. В каждой такой задаче нужно убедиться, что условие действительно сохраняется.
Дальше эта тема пригодится при изучении функций, их таблиц и графиков. Формула задаёт правило вычисления, таблица показывает отдельные пары значений, а график представляет зависимость на координатной плоскости. Вместе они помогают описывать одну и ту же связь разными способами.
Как отличить прямую пропорциональность от обычной зависимости?
Проверь, остаётся ли отношение y к x одинаковым для всех пар соответствующих значений. Если да, зависимость можно записать формулой y = kx с одним и тем же числом k. Если отношение меняется, это не прямая пропорциональность.
Почему коэффициент пропорциональности равен y/x?
Из формулы y = kx разделим обе части на x, если x не равно нулю. Получим y/x = k, поэтому для любой подходящей пары значений коэффициент равен отношению y к x.
Может ли график прямой пропорциональности не проходить через начало координат?
Нет. При x = 0 формула y = kx даёт y = 0, поэтому точка (0; 0) обязательно принадлежит графику. Прямая, не проходящая через начало координат, не задаёт прямую пропорциональность.
Как найти неизвестное значение, если известна только одна пара значений?
Сначала по известной паре найди коэффициент: k = y/x. Затем подставь его и известное значение x или y в формулу y = kx. Так можно вычислить вторую величину.
Как проверить по таблице, является ли зависимость прямой пропорциональностью?
Для каждой пары значений вычисли отношение y/x. Если все полученные отношения равны одному числу, таблица задаёт прямую пропорциональность, а это число — коэффициент k. Если хотя бы одно отношение отличается, зависимость не подходит.
§ 3. Прямая пропорциональность
