§ 4. Смеси и проценты

Определения и обозначения

Смесь — совокупность нескольких веществ, соединённых без превращения в новое вещество. Например, солёная вода состоит из воды и соли, а свойства этих веществ не исчезают после смешивания. Понятие смеси нужно, чтобы описывать состав растворов, сплавов и других материалов.

Компонент смеси — каждое отдельное вещество, входящее в состав смеси. В солёной воде компонентами будут вода и соль, а в сплаве — входящие в него металлы. Когда в задаче спрашивают о составе смеси, обычно нужно определить массу или долю одного из компонентов.

Массовая доля вещества — отношение массы компонента к общей массе смеси. Её обозначают, например, буквой w и находят делением массы компонента на массу смеси. Эта величина показывает, какую часть всей смеси составляет выбранное вещество, и помогает сравнивать состав разных смесей.

Концентрация смеси — массовая доля компонента, выраженная в процентах. Например, концентрация соли 10% означает, что на каждые 100 г раствора приходится 10 г соли. Концентрацией удобно пользоваться, когда нужно описать состав раствора привычным способом или найти массу вещества в известном количестве раствора.

Как это устроено

Общая масса смеси складывается из масс всех её компонентов. При соединении веществ масса не пропадает: к массе одного компонента добавляется масса другого. Например, если смешать 20 г соли и 180 г воды, масса раствора составит 200 г. Поэтому перед поиском доли полезно проверить, что учтены все части смеси и их массы выражены в одинаковых единицах.

Массовую долю компонента находят делением его массы на массу всей смеси. Так мы сравниваем часть с целым: масса выбранного вещества — это часть, а масса раствора вместе с этим веществом — целое. Если в 200 г раствора содержится 30 г соли, доля соли равна 30 : 200 = 0,15. Доля обычно меньше единицы, потому что масса компонента не может быть больше массы всей смеси.

Чтобы выразить массовую долю в процентах, полученное отношение умножают на 100%. Это связано с тем, что процент означает одну сотую часть целого. Например, доля 0,15 равна 15%, поскольку 0,15 · 100% = 15%. Для обратного перехода проценты делят на 100: 12% превращаются в 0,12.

По общей массе смеси и концентрации можно находить массу содержащегося в ней вещества. Сначала процент записывают десятичной дробью, а затем умножают эту дробь на массу смеси. Например, 12% от 500 г — это 0,12 · 500 = 60 г. Такой расчёт работает потому, что доля показывает, какую часть общей массы нужно взять.

При смешивании двух смесей сначала находят массу нужного вещества в каждой из них, затем складывают эти массы и сравнивают с общей массой новой смеси. Так учитывается, что растворы могут иметь разную массу и по-разному влиять на результат. Например, небольшой объём крепкого раствора может содержать меньше вещества, чем большой объём слабого. Поэтому нельзя просто сложить концентрации или взять их среднее арифметическое без проверки масс.

Величины, используемые при решении задач на смеси

Сначала определи, какую величину требуется найти, и выбери соответствующую формулу. Перед вычислением приведи массы к одинаковым единицам, а проценты переведи в долю, если формула требует десятичную дробь. После решения проверь, что масса компонента не превышает массу смеси.

Разбор задач

Концентрация соли

Условие: в 200 г раствора содержится 30 г соли. Нужно найти концентрацию соли. Сначала выясним, какую часть всего раствора составляет соль: для этого массу соли сравним с общей массой раствора. Затем переведём полученную долю в проценты.

1. Масса компонента — 30 г, масса всей смеси — 200 г.
2. Найдём массовую долю: 30 : 200 = 0,15.
3. Переведём долю в проценты: 0,15 · 100% = 15%.

Ответ: концентрация соли равна 15%. Проверка: 15% от 200 г составляет 30 г, значит, результат согласуется с условием. Важно делить именно на массу раствора целиком, а не на массу воды.

Масса сахара по концентрации

Условие: концентрация сахара в растворе равна 12%, а масса раствора — 500 г. Требуется найти массу сахара. Здесь известна доля компонента и масса целого, поэтому сначала запишем процент в виде десятичной дроби. Затем найдём соответствующую часть от общей массы раствора.

1. Переведём концентрацию в дробь: 12% = 0,12.
2. Умножим массу раствора на долю сахара: 500 · 0,12 = 60 г.
3. Проверим смысл результата: 60 г меньше 500 г, значит, масса компонента возможна.

Ответ: в растворе содержится 60 г сахара. Умножение на 0,12 находит 12 сотых от 500 г. Если умножить на 12, получится число больше массы раствора, что сразу покажет ошибку с процентами.

Смешивание растворов

Условие: смешали 3 кг раствора с концентрацией соли 20% и 2 кг раствора с концентрацией соли 50%. Нужно определить концентрацию соли в полученной смеси. Растворы имеют разную массу, поэтому нельзя просто усреднить 20% и 50%. Найдём, сколько соли внёс каждый раствор, и учтём общую массу.

1. В первом растворе соли 3 · 0,20 = 0,6 кг.
2. Во втором растворе соли 2 · 0,50 = 1 кг.
3. Всего соли: 0,6 + 1 = 1,6 кг; общая масса раствора: 3 + 2 = 5 кг.
4. Найдём концентрацию: 1,6 : 5 = 0,32, то есть 0,32 · 100% = 32%.

Ответ: концентрация соли в новой смеси равна 32%. Проверка: значение между 20% и 50%, что подходит для смеси двух растворов. Оно ближе к 20%, потому что раствора с такой концентрацией взяли больше.

Типичные ошибки

Ошибка: массу компонента делят на массу другого компонента, например соли на массу воды. Так получают отношение двух частей, а не долю вещества во всей смеси; путаница возникает, если растворитель кажется главным веществом. Проверь знаменатель: в нём должна стоять масса раствора целиком. Для проверки сложи массы компонентов и сравни сумму с общей массой.

Ошибка: процент используют как целое число, например умножают на 20 вместо 0,2. Так поступают, забыв, что процент — это одна сотая; результат обычно получается намного больше ожидаемого. Переводи проценты в дробь делением на 100: 20% = 0,2. Проверь вычисление: масса компонента должна быть не больше массы смеси.

Ошибка: при смешивании растворов усредняют проценты, не учитывая массы частей. Такой расчёт допустим лишь для равных масс, а одинаковые объёмы или массы в условии встречаются не всегда. Вместо этого вычисли массу вещества в каждом растворе и сложи её. Проверка: концентрация результата должна быть между исходными концентрациями.

Ошибка: складывают проценты компонентов, хотя складывать нужно их массы. Проценты описывают долю в конкретной смеси, поэтому у разных растворов у них разные основания; путаница возникает из-за привычки складывать числа из условия. Найди массу нужного вещества в каждой части, сложи массы и раздели на общую массу смеси. Проверка состоит в том, что итоговая концентрация выражает долю вещества в полученной смеси, а не сумму исходных процентов.

Связь с другими темами

Для задач на смеси нужны навыки нахождения процента от числа, перевода процентов в дроби и действий с дробями. Также пригодятся отношения и пропорции: массовая доля как раз сравнивает две массы. Следи за единицами измерения массы и при необходимости переводи килограммы в граммы или наоборот.

Эти вычисления применяют не только к солёной воде. Они помогают решать задачи о растворах и сплавах, рассчитывать состав смесей и соблюдать пропорции в рецептах. С их помощью можно также понять, как изменится концентрация, если добавить вещество, растворитель или раствор с другим составом.

Что запомнить

• Масса смеси равна сумме масс её компонентов.
• Массовая доля равна отношению массы компонента к массе смеси.
• Концентрация — это массовая доля, выраженная в процентах.
• Чтобы найти массу компонента, нужно массу смеси умножить на его долю.
• При смешивании сначала находят массы нужного вещества в отдельных смесях.
• Концентрация новой смеси равна отношению общей массы вещества к общей массе смеси.