"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Масштаб показывает, во сколько раз расстояние на карте или плане меньше настоящего. Благодаря ему можно изобразить на листе целый город, комнату или участок и при этом сохранить правильные пропорции: если один отрезок уменьшен в определённое число раз, то так же уменьшаются и остальные. Масштаб записывают числом, словами или в виде шкалы. Зная его, можно находить реальные расстояния и длины отрезков на плане.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Масштаб — отношение длины отрезка на плане или карте к соответствующей действительной длине. Например, если отрезок на плане во много раз короче настоящего расстояния, масштаб показывает, во сколько именно. Он нужен, чтобы правильно читать карту или по плану вычислять реальные расстояния.
Численный масштаб — запись масштаба в виде отношения 1:n, показывающая, во сколько раз уменьшено изображение. Буква n здесь обозначает число, на которое умножают длину на плане, чтобы получить настоящую длину в тех же единицах. Такая запись удобна для вычислений.
Именованный масштаб — словесная запись соответствия между расстоянием на изображении и действительным расстоянием, например: 1 см соответствует 5 км. По ней можно сразу понять, какое реальное расстояние представляет один сантиметр на карте. Это помогает объяснить численный масштаб без сложного отношения.
Линейный масштаб — шкала на карте или плане, позволяющая измерять расстояния непосредственно по делениям. Деления подписывают значениями действительных расстояний. Такая шкала нужна, чтобы находить расстояния наглядно, не выполняя каждый раз умножение или деление.
На плане реальные расстояния уменьшают в одно и то же число раз, потому что иначе взаимное расположение объектов исказилось бы. Если одну улицу уменьшить сильнее, чем другую такую же по длине, карта перестанет верно передавать расстояния. Единое уменьшение сохраняет пропорции: длинные отрезки остаются длиннее коротких, а отношение длин не меняется. Поэтому по плану можно судить не только о расположении, но и о размерах объектов.
Чтобы составить численный масштаб, сравнивают длину на изображении с соответствующей действительной длиной. Сначала обе величины выражают в одинаковых единицах, затем записывают их отношением и сокращают. Перед отношением обычно стоит 1, потому что удобнее узнать, какой длине в действительности соответствует одна единица на плане. Например, если 1 см на карте соответствует 100 000 см на местности, масштаб равен 1:100000.
Одинаковые единицы необходимы, потому что отношение сравнивает величины одного рода и в одной мере. Нельзя сразу разделить 3 см на 2 км: числа относятся к разным единицам и результат будет неверным. Переводим километры в сантиметры или сантиметры в километры, а затем выполняем вычисление. Выбор единиц зависит от того, какой ответ удобнее получить.
Действительное расстояние находят, умножая длину на плане на знаменатель масштаба. Например, при масштабе 1:1000 отрезку 2 см соответствует 2 · 1000 = 2000 см в действительности. Расстояние на плане находят обратным действием: действительную длину делят на знаменатель. Сначала обе величины приводят к одинаковым единицам, иначе умножение или деление даст неправильный результат.
Для перехода от численного масштаба к именованному выясняют, какой действительной длине соответствует одна единица на плане, и записывают это словами. Например, масштаб 1:5000 означает, что 1 см соответствует 5000 см, то есть 50 м. Линейный масштаб строят по этому соответствию: отрезок делят на равные части и подписывают значения. В обратную сторону по подписанным словам или шкале можно составить численный масштаб, переведя расстояния в одинаковые единицы.
| Вид масштаба | Как записывается | Что показывает | Пример применения |
|---|---|---|---|
| Численный масштаб | 1:n | Во сколько раз уменьшено изображение | 1:100000: 1 см соответствует 100000 см |
| Именованный масштаб | Словами | Какая длина на изображении соответствует действительной | 1 см соответствует 1 км |
| Линейный масштаб | Шкала с делениями | Действительные расстояния по делениям | Измерение расстояния на карте по шкале |
| Нахождение действительного расстояния | Длина на плане · n | Реальную длину отрезка | 3 см при 1:1000 дают 3000 см |
| Нахождение расстояния на плане | Действительная длина : n | Длину отрезка на изображении | 2000 см при 1:1000 дают 2 см |
Сначала определи, что именно требуется найти: настоящее расстояние или длину на плане. Затем проверь, одинаковые ли единицы используются, и выбери соответствующее действие по таблице. Именованный и линейный масштабы показывают то же соотношение, что и численный, но в более наглядной форме.
На карте с масштабом 1:100000 расстояние между двумя пунктами равно 3 см. Нужно найти действительное расстояние. Знаменатель показывает, что каждый сантиметр на карте соответствует 100000 см на местности. Полученное значение переведём в километры, чтобы ответ был удобным.
Ответ: действительное расстояние между пунктами равно 3 км.
Расстояние между городами в действительности равно 240 м. Найдём длину отрезка на плане масштаба 1:2000. По правилу нужно разделить действительную длину на знаменатель, но сначала перевести метры в сантиметры. Это важно, потому что масштаб означает соответствие одинаковых единиц.
Ответ: длина отрезка на плане будет 12 см.
На плане расстояние между объектами равно 4,5 см, а в действительности — 1,8 км. Требуется определить масштаб. В численном масштабе сравнивают длину на плане с действительной длиной, поэтому приведём обе величины к сантиметрам. Затем сократим отношение так, чтобы первым числом стала единица.
Ответ: масштаб плана равен 1:40000.
Сравнивают сантиметры на плане с метрами или километрами в действительности без перевода. Так можно случайно получить отношение чисел, которые выражены в разных единицах. Обычно ошибка возникает, когда хочется сразу подставить числа из условия. Перед вычислением проверь обозначения единиц и переведи обе длины, например, в сантиметры.
Перепутывают направление отношения и записывают 100000:1 вместо 1:100000. В масштабе первой указывают длину на изображении, а второй — соответствующую длину в действительности. Ошибка появляется, если сравнивать числа, не задумываясь, какая величина относится к карте. Проверь себя: при уменьшенном изображении действительное расстояние должно быть больше, поэтому знаменатель обычно больше единицы.
При нахождении действительного расстояния делят длину на плане на знаменатель. Это обратное действие: так находят длину на изображении, если известна действительная длина. Ошибка возникает из-за путаницы в двух типах задач. Проверь результат: настоящее расстояние при масштабе уменьшения должно быть больше длины на плане, значит, здесь нужно умножение.
Забывают перевести полученный результат из сантиметров в метры или километры. Вычисление может быть правильным, но ответ окажется записан в неудобных единицах или неверно прочитан. Например, 300000 см — это не 300000 км, а 3 км. Для проверки используй соотношения 100 см = 1 м и 100000 см = 1 км, а в ответе обязательно укажи единицу.
Для работы с масштабом нужны знания единиц длины, перевода сантиметров, метров и километров, а также умение решать задачи на отношения. Эти навыки пригодятся при чтении географических карт и атласов, составлении планов помещений, чертежей и изображений местности. Масштаб также связан с пропорциями: при одинаковом увеличении или уменьшении сохраняются отношения длин фигур. Позже это свойство поможет изучать подобие фигур.
Почему масштаб записывают именно как 1:n?
Масштаб сравнивает длину на изображении с соответствующей действительной длиной. Первую величину обычно принимают за единицу, а число n показывает, скольким таким единицам соответствует расстояние в действительности. Поэтому запись 1:n означает уменьшение в n раз.
Можно ли использовать масштаб, если расстояния выражены в разных единицах?
Перед вычислениями нужно перевести обе длины в одинаковые единицы. Например, сантиметры на плане нельзя напрямую сравнивать с километрами на местности. После вычисления результат при необходимости переводят в более удобные единицы.
Как понять, умножать или делить при решении задачи на масштаб?
Если ищешь действительное расстояние, длину на плане умножай на знаменатель масштаба. Если нужно найти длину на плане, действительное расстояние дели на знаменатель. Сначала обязательно приведи расстояния к одинаковым единицам.
Чем численный масштаб отличается от именованного?
Численный масштаб записывают отношением, например 1:1000. Именованный выражает то же соответствие словами: 1 см на плане соответствует 10 м в действительности. Он помогает сразу увидеть, какие расстояния сравниваются.
Для чего нужен линейный масштаб?
Линейный масштаб — это шкала с делениями, нанесённая на карту или план. По ней можно измерять расстояния непосредственно, прикладывая к шкале отрезок или измеритель. При этом не обязательно каждый раз выполнять вычисления по численному масштабу.
§ 5. Масштаб
