"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Масштаб показывает, во сколько раз расстояние на карте, плане или чертеже меньше соответствующего расстояния в действительности. Он помогает изображать большие территории и предметы на небольшом листе, а затем находить реальные расстояния по карте. Масштаб записывают числами или словами. Главное — правильно сопоставить длину на изображении и действительную длину, привести их к одинаковым единицам и выбрать нужное действие.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Масштаб — это отношение длины на карте или плане к соответствующей действительной длине. Он показывает, во сколько раз изображение уменьшено по сравнению с реальным объектом. Благодаря масштабу можно по небольшому рисунку узнать расстояния на местности.
Численный масштаб записывают в виде отношения, например 1 : 1000. Это значит, что одной единице длины на изображении соответствуют 1000 таких же единиц в действительности. Единицы должны быть одинаковыми: сантиметрам на плане соответствуют сантиметры в реальности.
Именованный масштаб выражает то же соответствие словами: 1 см на плане — 10 м на местности. Такая запись удобна, потому что сразу сообщает, какое расстояние обозначает один сантиметр или другой отрезок. Для вычислений её можно превратить в численный масштаб.
Длина на изображении — это расстояние между двумя точками на карте, плане или чертеже. Действительная длина — соответствующее расстояние между этими точками в реальности. Эти два значения связаны масштабом, поэтому знание одного из них помогает найти другое.
Сравнивать длины можно только в одинаковых единицах. Например, 3 см нельзя прямо сравнить с 20 м: сначала 20 м нужно перевести в сантиметры или 3 см — в метры. После перевода становится понятно, во сколько раз одна длина больше другой, и вычисление по масштабу не даст ошибки.
Запись 1 : n означает, что одному единичному отрезку на изображении соответствуют n таких же единиц в действительности. Если масштаб 1 : 500, то 1 см на плане соответствует 500 см на местности, а 2 см — 1000 см. Число n называют числом масштаба: оно показывает, во сколько раз реальный отрезок длиннее изображённого.
Чтобы найти действительную длину, известную длину на плане умножают на число масштаба. Причина проста: каждый сантиметр плана заменяет n сантиметров реального расстояния, поэтому нужно взять n столько раз, сколько сантиметров измерено на плане. Например, при масштабе 1 : 200 отрезок 4 см соответствует 4 · 200 = 800 см.
Чтобы найти длину на плане, действительную длину делят на число масштаба. Реальное расстояние состоит из большого количества единиц, а изображение уменьшает их в n раз. Сначала действительную длину переводят в нужные единицы, затем выполняют деление: при масштабе 1 : 1000 расстояние 3000 см изображается отрезком 3000 : 1000 = 3 см.
Для перехода от численного масштаба к именованному нужно выбрать единицу изображения и перевести соответствующее число единиц в удобные слова. Например, 1 : 5000 означает 1 см — 5000 см, то есть 50 м. Обратно, в записи 1 см — 50 м переводим 50 м в сантиметры: 5000 см, поэтому получаем 1 : 5000.
| Что известно | Действие | Что получаем |
|---|---|---|
| Длина на плане и масштаб | Умножаем длину на плане на число масштаба | Действительную длину |
| Действительная длина и масштаб | Делим действительную длину на число масштаба | Длину на плане |
| Длина на плане и действительная длина | Приводим единицы к одинаковым и составляем отношение | Численный масштаб |
Сначала определите, какая величина известна и что требуется найти. Затем проверьте единицы длины и выберите строку таблицы с подходящим действием.
После вычисления полезно проверить ответ: при уменьшенном изображении длина на плане должна быть меньше действительной длины.
Масштаб плана 1 : 100. Какому расстоянию в действительности соответствует отрезок длиной 3 см на плане? Известна длина на плане, значит, нужно найти действительную длину умножением.
Ответ: 3 м.
Расстояние между двумя пунктами на карте длиной 4 см соответствует 2 км. Найдите численный масштаб карты. Нужно сравнить длину на карте с действительной длиной, поэтому 2 км сначала переводим в сантиметры.
Ответ: численный масштаб карты 1 : 50 000.
Масштаб чертежа 1 : 2000. Найдите длину отрезка на чертеже, если действительное расстояние равно 600 м. Известно реальное расстояние, поэтому его нужно перевести в сантиметры и разделить на число масштаба.
Ответ: 30 см.
Разные единицы. Ученик может сравнить сантиметры на плане с метрами в действительности и получить неверное отношение. Так происходит, если перевод единиц оставляют на конец решения. Проверяйте, чтобы перед действием обе длины были выражены, например, в сантиметрах.
Деление вместо умножения. При поиске действительной длины иногда делят длину на плане на число масштаба. Ошибка возникает из-за того, что забывают: реальный отрезок в n раз больше изображения. Если ищете расстояние на местности, умножайте длину плана на число масштаба.
Умножение вместо деления. При поиске длины на плане можно умножить действительное расстояние на число масштаба. Но план является уменьшенным изображением, поэтому реальную длину нужно делить на n. Ответ должен быть намного меньше действительного расстояния.
Перепутан порядок отношения. Запись действительная длина : длина на плане даёт обратное отношение, а не масштаб 1 : n. В численном масштабе первой обычно стоит единица изображения. Проверьте, что после сокращения получилось 1 : число, большее 1.
Для решения задач на масштаб нужно знать единицы длины и уметь переводить километры, метры, сантиметры и миллиметры друг в друга. Без этого нельзя правильно сравнить длину на карте с расстоянием в реальности.
Масштаб связан с отношениями величин и пригодится при чтении карт и планов, создании чертежей и решении практических задач. С его помощью можно изображать большие расстояния на листе и восстанавливать реальные размеры по изображению.
Что показывает масштаб 1 : 1000?
Масштаб 1 : 1000 означает: 1 единице длины на карте соответствует 1000 таким же единицам в действительности. Например, 1 см на карте — это 1000 см, или 10 м, на местности.
Почему при вычислении по масштабу важно переводить длины в одинаковые единицы?
Масштаб сравнивает одинаковые единицы длины, например сантиметры с сантиметрами. Если смешать сантиметры и метры, результат будет неверным, потому что эти единицы отличаются в 100 раз.
Как найти расстояние на местности по карте?
Измерьте расстояние на карте и умножьте его на число масштаба. Перед вычислением убедитесь, что единицы длины согласованы, а затем переведите результат в удобные метры или километры.
Как определить длину отрезка на плане, если известно реальное расстояние?
Действительное расстояние нужно выразить в тех же единицах, что и численный масштаб. Затем его делят на число масштаба и получают длину отрезка на плане.
Как перевести именованный масштаб в численный?
Нужно выразить обе части именованного масштаба в одной единице длины. Например, 1 см на плане — 10 м на местности: 10 м = 1000 см, поэтому численный масштаб равен 1 : 1000.
§ 3. Масштаб
