"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Масштаб показывает, во сколько раз длина отрезка на плане или карте меньше соответствующего расстояния на местности. Его используют, чтобы изображать большие территории на небольшом листе и сохранять правильные пропорции. Масштаб записывают числом, например 1:50 000, или словами. Для решения задач нужно знать, что найти, согласовать единицы длины и выбрать умножение либо деление.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Масштаб — это отношение длины отрезка на изображении к длине соответствующего отрезка на местности. Например, сравнивают расстояние между двумя точками на карте и настоящее расстояние между ними. Обе длины обязательно выражают в одинаковых единицах, иначе сравнение будет неверным.
Численный масштаб записывают в виде 1:n, где n — число масштаба. Такая запись означает: 1 единице длины на плане или карте соответствуют n таким же единицам на местности. Например, масштаб 1:100 показывает, что 1 см на плане соответствует 100 см на местности.
Именованный масштаб записывают словами: например, «1 см на плане соответствует 5 км на местности». Читать его нужно так: каждый один сантиметр изображения показывает пять километров настоящего расстояния. Такая запись удобна тем, что сразу называет единицы и помогает понять смысл масштаба.
Масштаб нужен потому, что большие расстояния нельзя целиком изобразить на обычном листе. Их уменьшают во много раз, но одинаково для всех отрезков, чтобы сохранялись пропорции. Поэтому по карте можно сравнивать расстояния и вычислять настоящие размеры. Если уменьшать разные отрезки по-разному, форма местности исказилась бы.
В численном масштабе первая часть отношения равна 1, потому что обе длины сначала переводят в одинаковые единицы, а затем отношение сокращают. Например, если 1 см на плане соответствует 100 см на местности, отношение уже имеет вид 1:100. Единица слева относится к изображению, а число справа — к местности.
Чтобы найти расстояние на местности, длину отрезка на плане умножают на число масштаба. Это объясняется тем, что каждый сантиметр изображения заменяет сразу n сантиметров настоящего расстояния. Например, при масштабе 1:100 отрезок 3 см показывает 3 · 100 = 300 см на местности.
Чтобы найти длину изображения, расстояние на местности делят на число масштаба. Сначала обе величины приводят к одинаковым единицам, потому что число масштаба связывает именно одинаковые единицы. При переходе от именованного масштаба к численному делают такой же перевод: 5 км превращают в 500 000 см, если слева указаны сантиметры, и получают 1:500 000. Обратно, запись 1:50 000 можно прочитать как 1 см соответствует 50 000 см, то есть 500 м или 0,5 км.
В таблице сначала найдите строку, похожую на условие задачи, а затем выполните действие из третьего столбца. В столбце «Что проверить» указана быстрая проверка результата. Единицы длины нужно согласовать до вычислений или перевести ответ после них.
| Что известно | Как рассуждать | Действие | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Масштаб и длина на плане | Изображение нужно увеличить в n раз. | Умножить длину на плане на n. | Расстояние на местности обычно больше. |
| Масштаб и расстояние на местности | Нужно узнать, сколько отрезков по 1 единице изображения помещается в расстоянии. | Перевести единицы и разделить расстояние на n. | Длина на плане обычно меньше. |
| Именованный масштаб | Сначала определить, какие единицы указаны слева и справа. | Перевести их в одинаковые единицы и записать 1:n. | Справа должно получиться число без единиц. |
| Перевод единиц измерения | Выбрать одну общую единицу для всех величин. | Использовать соотношения 1 км = 1000 м, 1 м = 100 см. | Проверить, что единицы в формуле совпадают. |
Задача 1. Масштаб плана 1:100. Какому расстоянию на местности соответствует отрезок длиной 3 см на плане?
Ответ: 3 см на плане соответствуют 3 м на местности.
Задача 2. Расстояние между двумя пунктами равно 2 км. Какой длины будет этот отрезок на карте масштаба 1:50 000?
Ответ: длина отрезка на карте будет 4 см.
Задача 3. На плане масштаба 1:25 000 расстояние между пунктами равно 4,8 см. Найдём расстояние на местности, а затем длину этого расстояния на плане масштаба 1:60 000.
Ответ: расстояние на местности равно 1,2 км, а на втором плане его длина будет 2 см.
Первая ошибка — умножать или делить не в ту сторону. Её допускают, когда не различают длину изображения и настоящее расстояние. Проверьте результат: при масштабе 1:n расстояние на местности должно быть больше длины на плане.
Вторая ошибка — подставлять величины в разных единицах, например сантиметры и километры. Так происходит, если сразу использовать числа из условия без перевода. Запишите рядом единицы и приведите все длины к одной из них.
Третья ошибка — понимать запись 1:100 как 100 см на плане и 1 см на местности. Причина в том, что части отношения меняют местами. Помните: первая часть относится к изображению, а вторая — к местности.
Четвёртая ошибка — забыть перевести ответ в требуемые единицы. После вычисления можно получить сантиметры, хотя в условии просят метры или километры. Подпишите единицу результата и выполните последний перевод.
Для задач на масштаб нужны умения сравнивать величины и переводить единицы длины: миллиметры, сантиметры, метры и километры. Без этого легко получить правильное действие, но неправильный численный ответ. Поэтому перед вычислением полезно выписать все данные с единицами.
Масштаб применяется при чтении планов и карт, решении задач на расстояния и построении чертежей. Он связывает реальный объект с его уменьшенным изображением. То же правило помогает понимать схемы, планы помещений и географические карты.
Что показывает масштаб 1:10 000?
Он означает, что 1 единице длины на плане соответствуют 10 000 таких же единиц на местности. Например, 1 см на плане соответствует 10 000 см, то есть 100 м, на местности.
Почему перед вычислением нужно перевести километры в сантиметры?
В численном масштабе обе сравниваемые длины должны быть выражены в одинаковых единицах. Если длина на карте дана в сантиметрах, километры сначала переводят в сантиметры.
Как понять, нужно умножать или делить?
Чтобы перейти от длины на плане к расстоянию на местности, умножают на число масштаба. Чтобы получить длину на плане по расстоянию на местности, делят на это число.
Как записать именованный масштаб численно?
Нужно перевести обе части именованного масштаба в одинаковые единицы и записать их отношением. Например, 1 см соответствует 5 км: 5 км = 500 000 см, значит, численный масштаб равен 1:500 000.
Может ли длина на плане оказаться больше расстояния на местности?
Для обычного масштаба карты или плана 1:n, где n больше 1, длина изображения не может быть больше соответствующего расстояния. Если получился такой результат, скорее всего, перепутано действие или единицы измерения.
4.6. Масштаб
