"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но могут различаться размером: их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Это помогает находить неизвестные длины по известным сторонам и решать задачи с чертежами, масштабом и увеличением. Главное — правильно сопоставить элементы фигур и не перепутать порядок, в котором вычисляется коэффициент подобия. Пропорциональные отрезки встречаются и тогда, когда параллельные прямые пересекают стороны угла.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Подобные фигуры — фигуры, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Иными словами, у них одинаковая форма, хотя размеры могут быть разными. Это определение помогает отличить подобие от простого сходства на глаз: нужно проверить и углы, и стороны. Если оба условия выполнены, одну фигуру можно получить из другой увеличением или уменьшением.
Соответствующие стороны — стороны двух фигур, занимающие одинаковое положение при сопоставлении их вершин и углов. Сначала находят пары равных углов, затем устанавливают, какие вершины им соответствуют. Стороны, соединяющие соответствующие вершины, тоже являются соответствующими. Такое сопоставление нужно, чтобы сравнивать именно правильные пары длин, а не случайные стороны.
Коэффициент подобия — отношение длины стороны одной фигуры к длине соответствующей стороны другой. Например, его можно записать как длина стороны первой фигуры, делённая на длину соответствующей стороны второй. Порядок фигур необходимо указывать или ясно понимать: при перестановке фигур отношение меняется на обратное. Коэффициент показывает, во сколько раз меняются соответствующие стороны.
Пропорциональные отрезки — отрезки, отношения длин которых равны. Например, если a/b = c/d, то отрезки с длинами a, b, c и d пропорциональны в таком порядке. Это понятие позволяет перейти от известных длин к неизвестной через пропорцию. Оно используется и при сравнении сторон подобных фигур, и в задачах с параллельными прямыми.
Чтобы сравнить две фигуры, сначала нужно определить соответствие между их вершинами. Удобно идти по контуру в одном направлении и отмечать углы, которые равны по величине и стоят в одинаковом порядке. После этого можно сопоставить стороны, соединяющие эти вершины. Если начать сравнение с произвольных сторон, легко принять за пару элементы, которые занимают разное положение.
Равенство соответствующих углов сохраняет форму: наклон сторон друг к другу остаётся таким же. Но сами по себе одинаковые углы ещё не гарантируют, что стороны изменились в одно и то же число раз. Поэтому дополнительно проверяют пропорциональность соответствующих сторон. Когда выполнены оба условия, отличие фигур сводится к размеру, а не к форме.
Коэффициент подобия описывает общий масштаб изменения. Если длину каждой стороны второй фигуры разделить на длину соответствующей стороны первой, у подобных фигур во всех случаях получится одно и то же число. Значит, каждую соответствующую длину можно получить умножением на этот множитель. При обратном переходе используют обратное отношение, поэтому коэффициент зависит от того, какую фигуру считают первой.
Если известны две соответствующие стороны и ещё одна сторона, можно найти неизвестную через пропорцию. Сначала записывают отношение сторон первой фигуры, затем — отношение соответствующих сторон второй, сохраняя один и тот же порядок. Например, если 3/6 = 4/x, то 3x = 24, откуда x = 8. Равенство отношений позволяет находить длину, даже если измерить её прямо на чертеже нельзя.
Параллельные прямые, пересекающие обе стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки. Причина в том, что отрезки от вершины угла до каждой из прямых образуют треугольники с равными углами: один угол у них общий, а другие связаны параллельностью. Поэтому треугольники имеют одинаковую форму, и их стороны относятся одинаково. Это даёт возможность составить пропорцию для частей сторон угла и вычислить неизвестный отрезок.
Таблица показывает, какое условие проверять и какую информацию оно даёт. Сначала установите соответствие элементов, а затем выберите строку, подходящую к задаче. Для вычислений особенно важно записывать сравниваемые величины в одинаковом порядке.
| Что сравниваем | Условие или связь | Что можно найти |
|---|---|---|
| Соответствующие углы | Углы равны | Проверить сохранение формы |
| Соответствующие стороны | Их отношения равны | Проверить пропорциональность |
| Коэффициент подобия | Отношение соответствующих сторон с заданным порядком | Во сколько раз изменяются длины |
| Неизвестная длина стороны | Составить равенство отношений сторон | Найти длину через пропорцию |
| Отрезки на сторонах угла, пересечённых параллельными прямыми | Соответствующие отрезки пропорциональны | Найти неизвестный отрезок |
У двух треугольников соответствующие стороны равны 3 см и 6 см, 4 см и 8 см, 5 см и 10 см. Проверим пропорциональность и найдём коэффициент, считая первым треугольник с меньшими сторонами. Сравнивать нужно пары в указанном порядке, чтобы результат для каждой пары можно было сопоставить. Так мы проверим, меняются ли длины одинаково.
Ответ: стороны пропорциональны, коэффициент подобия в выбранном порядке равен 1/2. Если поменять порядок треугольников, коэффициент будет 2.
Подобные фигуры имеют коэффициент подобия 3, а сторона меньшей фигуры равна 5 см. Нужно найти соответствующую сторону большей фигуры. Здесь коэффициент означает переход от меньшей фигуры к большей, поэтому длину следует увеличить в 3 раза. Проверить выбранное действие можно по смыслу: большая фигура не должна получить сторону короче 5 см.
Ответ: соответствующая сторона большей фигуры равна 15 см.
Из вершины угла проведены две параллельные прямые. На одной стороне угла расстояния от вершины до прямых равны 4 см и 10 см; на другой стороне расстояние до первой прямой равно 6 см. Найдём отрезок между прямыми на второй стороне. Отрезок между прямыми на первой стороне равен 10 − 4 = 6 см. Соответствующие отрезки на двух сторонах угла пропорциональны.
Ответ: отрезок между прямыми на другой стороне угла равен 9 см. Проверка: отношение 9/6 равно 6/4, значит, пропорция составлена верно.
Можно сравнить стороны, которые не являются соответствующими, если не установить порядок вершин. Тогда отношения обычно не совпадут, даже если фигуры подобны. Такая ошибка возникает, когда сравнивают стороны только по длине или положению на листе. Перед вычислениями отметьте равные углы и соедините соответствующие вершины.
Иногда фигуры считают подобными только по пропорциональности сторон или только по равенству углов. Это неверно: определение требует выполнить оба условия. Ошибку допускают, принимая одно совпадение за достаточное доказательство. Проверьте отдельно равенство углов и равенство отношений соответствующих сторон.
При вычислении коэффициента можно перевернуть отношение, например взять сторону второй фигуры, делённую на сторону первой, а затем использовать результат как множитель в обратном направлении. Так направление перехода перестаёт соответствовать числу. Перед вычислением подпишите, от какой фигуры к какой переходите. Затем проверьте смысл: при увеличении коэффициент-множитель должен быть больше 1.
В задаче с параллельными прямыми легко составить пропорцию из отрезков, которые лежат на разных участках сторон угла. Это происходит, если не различать расстояния от вершины и отрезки между прямыми. Сначала отметьте на обеих сторонах одинаковые участки, а потом запишите отношения. Подстановка найденного значения обратно в пропорцию помогает проверить соответствие.
Для работы с подобием нужны умения находить отношения величин, составлять и решать пропорции, измерять углы и отрезки. Эти действия уже встречались при вычислениях с величинами и при изучении геометрических фигур. Новая тема соединяет их: геометрические условия дают равные отношения, а пропорция помогает найти длину.
Подобие применяют, когда нужно вычислить неизвестную сторону, работать с масштабом или увеличивать и уменьшать чертёж, сохраняя его форму. В дальнейшем эта идея станет основой изучения подобия треугольников. Геометрические отношения также пригодятся в старших классах при решении более сложных задач.
Достаточно ли равенства соответствующих углов, чтобы фигуры были подобны?
Нет, нужно также, чтобы отношения соответствующих сторон были одинаковыми. Одного равенства углов недостаточно для фигур с разным числом сторон.
Как определить, какие стороны фигур являются соответствующими?
Сначала сопоставьте равные углы и вершины в одинаковом порядке. Стороны, соединяющие соответствующие вершины, и будут соответствующими.
Почему коэффициент подобия может быть разным при сравнении одних и тех же фигур?
Коэффициент зависит от порядка фигур в отношении. При переходе от меньшей фигуры к большей он больше 1, а при обратном сравнении получается обратное число.
Как по коэффициенту подобия найти неизвестную сторону?
Умножьте известную сторону на коэффициент, если переходите от первой фигуры ко второй. Если направление обратное, разделите на коэффициент.
Как понять, какие отрезки нужно сравнивать, если стороны угла пересечены параллельными прямыми?
Сопоставьте отрезки, которые лежат на одинаковых участках двух сторон: от вершины до первой прямой и между прямыми. Отношения таких отрезков равны.
4.7. Пропорциональность в геометрии. Подобные фигуры
