"Математика", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Масштаб показывает, во сколько раз длина на карте, плане или чертеже отличается от соответствующей длины в действительности. Он помогает изображать большие территории на листе и, наоборот, подробно показывать маленькие предметы. Главное правило: сравнивать нужно соответствующие длины, выраженные в одинаковых единицах. При масштабе 1:n действительную длину находят умножением длины изображения на n, а длину изображения — делением действительной длины на n.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Масштаб — отношение длины отрезка на изображении к соответствующей действительной длине. Перед сравнением обе длины выражают в одинаковых единицах: например, переводят километры в сантиметры. Это позволяет понять, во сколько раз изображение отличается от настоящего расстояния, и правильно выполнить вычисления.
Численный масштаб — запись отношения длины изображения к действительной длине в виде 1:n или n:1. Первое число показывает длину на изображении, второе — соответствующую ей длину в действительности, если сравнение ведётся в одинаковых единицах. Такая запись удобна для карт, планов и чертежей: по ней можно находить длины, даже если они не указаны рядом с изображением.
Масштаб уменьшения — масштаб, при котором изображение меньше предмета; его записывают как 1:n, где n больше 1. Это значит, что одной единице длины на изображении соответствуют n таких же единиц в действительности. Например, при 1:100 каждый сантиметр на плане заменяет 100 см настоящего расстояния.
Масштаб увеличения показывает, что изображение больше предмета, и имеет запись n:1, где n больше 1. Число n означает, что одной единице действительной длины соответствуют n таких же единиц на изображении. Эта запись помогает рассчитать чертёж увеличенной детали; при равных длинах масштаб 1:1 называют натуральным изображением.
Масштаб сравнивает две длины, относящиеся к одному и тому же отрезку: одну измерили на изображении, другую — в действительности. Если сравнивать сантиметры на карте с километрами на местности без перевода, числа будут относиться к разным единицам и дадут неверный результат. Поэтому сначала обе длины переводят, например, в сантиметры, а уже затем составляют отношение.
Масштаб 1:n читают так: одной единице длины на изображении соответствуют n таких же единиц в действительности. Слова «таких же» здесь важны: если на плане отрезок равен 1 см, то при масштабе 1:100 ему соответствуют 100 см, а не 100 м. Число в записи не меняет единицу измерения, а показывает, сколько раз длина на изображении меньше настоящей.
Чтобы по масштабу уменьшения найти действительную длину, длину на изображении умножают на n. Это следует из смысла записи: каждый сантиметр на изображении заменяет n сантиметров в действительности, поэтому для нескольких сантиметров нужно взять по n настоящих сантиметров несколько раз. Например, 3 см при масштабе 1:100 соответствуют 3 × 100 см.
Если известна действительная длина, а требуется длина изображения, при масштабе 1:n её делят на n. Ведь изображение в n раз короче настоящего отрезка, и деление как раз уменьшает длину в нужное число раз. Перед делением полезно перевести действительную длину в удобные единицы, чтобы результат получить, например, в сантиметрах.
Вид масштаба можно определить по отношению длины изображения к действительной длине после перевода величин в одинаковые единицы. Если длина изображения меньше действительной, отношение меньше 1 и получается уменьшение, обычно запись 1:n. Если изображение длиннее настоящего отрезка, отношение больше 1 и получается увеличение, обычно n:1; при равных длинах масштаб равен 1:1.
| Вид масштаба | Запись | Что означает | Как найти действительную длину | Как найти длину изображения |
|---|---|---|---|---|
| Уменьшение | 1:n | 1 единице на изображении соответствуют n единиц в действительности | Длину изображения умножить на n | Действительную длину разделить на n |
| Увеличение | n:1 | n единиц на изображении соответствуют 1 единице в действительности | Длину изображения разделить на n | Действительную длину умножить на n |
| Натуральное изображение | 1:1 | Длина изображения равна действительной длине | Длина изображения не меняется | Действительная длина не меняется |
Сначала найдите в таблице вид масштаба и прочитайте, какие длины сопоставлены в его записи. Затем выберите столбец с искомой величиной и примените указанное действие. Перед вычислением проверьте, что все длины выражены в одинаковых единицах.
На плане расстояние между двумя точками равно 3 см, масштаб 1:100. Найдите действительное расстояние. Это масштаб уменьшения, поэтому 3 см на плане соответствуют в сто раз большей длине в действительности. В ответе удобно сначала получить сантиметры, а затем перевести их в метры.
Ответ: действительное расстояние равно 3 м.
Действительная длина дороги равна 2 км. Какой длиной её изобразят на карте масштаба 1:50 000? Чтобы применить деление, длину дороги нужно сначала выразить в сантиметрах, ведь масштаб говорит, что сантиметры на карте сравниваются с сантиметрами в действительности. Затем действительную длину делят на 50 000.
Ответ: дорогу изобразят отрезком длиной 4 см.
Длина детали на чертеже 8 см, а действительная длина 2 см. Определите масштаб чертежа. Здесь изображение длиннее настоящей детали, значит, следует ожидать увеличение. Составим отношение в нужном порядке — сначала длина изображения, затем действительная длина — и приведём его к виду n:1.
Ответ: масштаб чертежа 4:1, изображение увеличено в 4 раза.
Ошибка: сравнивать длину на карте в сантиметрах с расстоянием на местности в километрах. Так делают, потому что обозначения единиц иногда опускают и сосредотачиваются только на числах. Проверка проста: перед делением или составлением отношения подпишите единицы и переведите обе длины в одну и ту же единицу.
При масштабе 1:100 ошибочно считают, что 1 см соответствует 100 м. Путаница возникает из-за того, что масштаб часто используют для расстояний на местности, но число 100 обозначает количество тех же единиц, а не новую единицу измерения. Проверьте смысл записи: 1 см на плане соответствует 100 см в действительности, то есть 1 м.
Чтобы найти действительную длину при масштабе 1:n, иногда делят длину изображения на n. Это действие подходит для поиска изображения по настоящей длине: изображение короче в n раз. Для проверки вернитесь к значению масштаба: один отрезок изображения заменяет n таких отрезков в действительности, значит, для действительной длины нужно умножать.
Ещё одна ошибка — записать отношение действительной длины к длине изображения. Её допускают, когда привычно сначала называть больший отрезок или длину на местности. Но масштаб по определению сравнивает длину изображения с соответствующей действительной длиной именно в таком порядке. Перед записью подпишите, где изображение, а где действительность, и проверьте, совпадает ли получившийся вид масштаба с тем, что показывает чертёж.
Для работы с масштабом нужны умение измерять отрезки и знание единиц длины: миллиметров, сантиметров, метров и километров. Перевод единиц помогает сравнивать длины и записывать результат в удобном виде. Например, расстояние на местности часто находят в метрах или километрах, а длину на плане — в сантиметрах.
Масштаб применяют при чтении карт и планов, а также при создании чертежей. Он связан с пропорциями: если масштаб уменьшения постоянен, увеличение длины на изображении в несколько раз так же увеличивает соответствующую действительную длину. Поэтому правила масштаба помогают решать задачи о расстояниях и размерах предметов.
Почему перед вычислением масштаба нужно переводить длины в одинаковые единицы?
Масштаб — это отношение двух длин, а сравнивать напрямую можно только величины в одинаковых единицах. Например, перед вычислением нужно перевести километры в сантиметры или сантиметры в метры.
Что означает масштаб 1:100 000?
Одной единице длины на изображении соответствуют 100 000 таких же единиц в действительности. Например, 1 см на карте соответствует 100 000 см, то есть 1 км на местности.
Как по масштабу узнать действительное расстояние?
При масштабе уменьшения 1:n длину на карте или плане умножают на n. Сначала проверьте, что единицы результата вам подходят, и при необходимости переведите их.
Как найти длину отрезка на карте, если известна действительная длина?
Действительную длину нужно выразить в тех же единицах, что и длину на карте, а затем разделить на число n в масштабе 1:n. Получится длина отрезка на изображении.
Как определить, увеличено изображение или уменьшено?
Сравните длину изображения с действительной длиной в одинаковых единицах. Если отношение изображения к действительной длине меньше 1, это уменьшение; если больше 1 — увеличение.
1.2. Масштаб
