"Математика", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Деление числа в данном отношении помогает распределить целое на части так, чтобы их сумма осталась равна исходному числу, а сами части соотносились заданным образом. Например, отношение 2:5 означает, что на каждые две доли первой части приходятся пять долей второй. Чтобы найти части, складывают члены отношения, делят на эту сумму исходное число и умножают результат на каждый член. Правило работает и для двух, и для нескольких частей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деление числа в данном отношении — это нахождение двух или нескольких частей, сумма которых равна данному числу, а отношение частей совпадает с заданным. Например, разделить число в отношении 2:5 — значит получить части, одна из которых относится к другой как 2 к 5. Этот способ нужен, когда целое требуется распределить не поровну, а по указанной пропорции. Он помогает переводить такие условия в понятные вычисления.
Члены отношения — числа, записанные по обе стороны двоеточия, например 2 и 5 в записи 2:5. Они показывают, во сколько раз части соотносятся по числу одинаковых долей: первой части соответствуют две доли, второй — пять. По членам отношения определяют, сколько долей нужно отвести каждой части. Порядок членов важен, потому что он задаёт порядок частей.
Части числа — слагаемые, на которые разделили исходное число. Если число 20 разделили на части 8 и 12, то 8 и 12 — его части, а их сумма равна 20. Это определение помогает не перепутать части с членами отношения: члены задают пропорцию, а части являются искомыми числами. При решении сначала находят доли, а затем сами части.
Коэффициент пропорциональности — число, показывающее значение одной доли отношения. Если отношение равно 2:5, а одна доля равна x, то части можно записать как 2x и 5x. Здесь x — коэффициент пропорциональности, то есть общий множитель для членов отношения. Он нужен, чтобы связать заданные числа отношения с настоящими величинами частей.
Пусть число N нужно разделить в отношении a:b. Число a задаёт количество долей первой части, а b — второй, поэтому первую часть можно обозначить ax, а вторую — bx. Буква x означает размер одной доли, одинаковой для обеих частей. Такая запись сохраняет нужное отношение: ax:bx равно a:b, потому что обе части умножены на одно и то же число.
Сумма искомых частей должна дать исходное число N. Подставив вместо частей ax и bx, получаем ax + bx = N, или (a + b)x = N. Число a + b показывает общее количество долей, на которые условно разбито целое. Чтобы найти размер одной доли, нужно разделить N на это общее количество: x = N:(a + b).
После нахождения x остаётся получить настоящие части. Первая содержит a одинаковых долей, поэтому её значение равно ax; вторая содержит b долей, поэтому равна bx. Если умножить на неверный член отношения, части поменяются местами или пропорция окажется неправильной. Поэтому каждому члену нужно сопоставлять соответствующую ему часть, сохраняя порядок записи.
Для трёх частей в отношении a:b:c рассуждение такое же: части записывают как ax, bx и cx. Их сумма равна N, значит (a + b + c)x = N, а одна доля равна N:(a + b + c). Затем x умножают отдельно на a, b и c. Если частей больше трёх, к сумме добавляют все остальные члены отношения и так же находят каждую часть.
Проверка нужна потому, что ответ должен одновременно выполнить два условия задачи. Сумма частей показывает, что распределено всё исходное число, без потери или добавления величины. Сравнение отношения частей с заданным показывает, что доли распределены правильно. Если не выполнено хотя бы одно условие, значит, где-то допущена ошибка в вычислении или сопоставлении членов.
| Элемент | Выражение | Что означает |
|---|---|---|
| Сумма членов отношения | a + b | Общее число долей |
| Одна доля | N:(a + b) | Значение одной условной части |
| Первая часть | N·a:(a + b) | Часть, соответствующая числу a |
| Вторая часть | N·b:(a + b) | Часть, соответствующая числу b |
| Проверка суммы | N·a:(a + b) + N·b:(a + b) = N | Сумма найденных частей равна исходному числу |
| Проверка отношения | Первая часть:вторая часть = a:b | Найденные части соответствуют заданному отношению |
В таблице сначала найдите сумму членов отношения — это общее число долей. Разделите на неё исходное число, а затем умножьте значение одной доли на каждый член по порядку. Последние две строки помогут проверить ответ.
Отношение 2:5 означает, что первая часть состоит из двух одинаковых долей, а вторая — из пяти. Сначала найдём общее число долей, а затем размер одной доли. После этого станет понятно, сколько приходится на каждую часть.
Ответ: 10 и 25.
Общее количество учеников — это целое, которое требуется распределить между двумя группами. Первое число отношения относится к мальчикам, второе — к девочкам, потому что группы названы в том же порядке. Найдём размер одной доли, а потом определим количество учеников в каждой группе.
Ответ: 12 мальчиков и 16 девочек.
Здесь частей три, поэтому учитываем все три члена отношения. Они задают количество долей первого, второго и третьего компонентов. Найдём общее число долей и массу одной доли, после чего рассчитаем массу каждого компонента.
Ответ: 24 кг, 36 кг и 84 кг.
Если делить исходное число на один из членов отношения, не складывая все члены, получится неверный размер доли. Так ошибаются, принимая первый член за общее количество частей, хотя он задаёт лишь доли одной части целого. Сначала сложите все члены отношения и только потом делите исходное число на сумму. Проверка суммы найденных частей покажет, распределено ли всё число.
Иногда части записывают не в том порядке, что и члены отношения. Это происходит, если ученик забывает, какой группе или величине соответствует каждый член. Подписывайте части или сохраняйте порядок, заданный условием: первому члену отвечает первая часть. Проверьте, что отношение полученных частей после сокращения совпадает с исходным.
Ещё одна ошибка — складывать или вычитать числа отношения вместо умножения значения одной доли на соответствующий член. Члены показывают, сколько долей взять, а не сколько прибавить к найденному числу. Сначала найдите одну долю, затем умножьте её на каждый член. Если ответ получился, сложите части и сравните их отношение с заданным.
Наконец, нельзя пропускать проверку ответа. Даже при верном способе можно ошибиться в сложении или умножении, а без проверки ошибка останется незамеченной. Проверьте и сумму частей, и их отношение к друг другу. Для трёх и более частей сумма должна включать каждую найденную часть.
Для решения полезно уметь находить и сокращать отношения чисел, складывать дроби и решать простые уравнения. Идея с общей долей связывает эту тему с пропорциями: части имеют один общий множитель, а его можно найти из условия о сумме. Такой способ используют в задачах на смеси, распределение денег, длины отрезков и состав класса. Везде целое распределяют по заданному соотношению величин.
Почему исходное число нужно делить на сумму членов отношения?
Члены отношения показывают, на сколько одинаковых долей условно разбито целое. Их сумма — общее число долей. Поэтому исходное число делят на эту сумму, чтобы узнать значение одной доли.
Что делать, если отношение задано тремя числами?
Сложите все три члена отношения и разделите на их сумму исходное число. Полученное значение одной доли умножьте по очереди на каждый член. Так вы получите три части.
Как понять, какую часть умножать на первый, а какую на второй член отношения?
Первый член задаёт первую часть, второй — вторую. Умножайте значение одной доли на члены отношения по порядку. Например, для отношения 2:5 части равны двум и пяти долям.
Можно ли сначала сократить заданное отношение?
Да, если оба члена отношения делятся на одно и то же число без остатка. Сокращённое отношение задаёт те же пропорции, поэтому части получатся такими же. Например, 4:6 можно заменить на 2:3.
Как проверить правильность полученного ответа?
Сложите найденные части: сумма должна совпасть с исходным числом. Затем сравните отношение частей с заданным. Должны выполняться оба условия.
1.3. Деление числа в данном отношении
