§23. Деление числа в данном отношении

Определения и обозначения

Отношение чисел — запись, показывающая, во сколько раз одно число больше или меньше другого; его обозначают a:b. Например, запись 2:3 говорит, что первой величине соответствуют две доли, а второй — три такие же доли. Отношение помогает сравнивать величины и задавать способ их распределения.

Деление числа в данном отношении — нахождение двух или нескольких частей числа, отношения которых равны заданному отношению. Например, разделить число в отношении 2:3 — значит получить две части, одна из которых относится к другой как 2 к 3. Это нужно, когда целое требуется распределить не поровну, а в заданной пропорции.

Части, пропорциональные данным числам, — части, полученные умножением одного и того же числа на числа, задающие отношение. Если одна доля равна 4, то для отношения 2:3 части будут 4 × 2 и 4 × 3. Такой способ сохраняет нужное соотношение между частями.

Коэффициент деления — частное от деления всего числа на сумму чисел, задающих отношение. Он показывает величину одной доли, из которых составлены части. Зная этот коэффициент, можно получить каждую часть умножением на соответствующее число отношения.

Как это устроено

Пусть число нужно разделить в отношении m:n. Числа m и n указывают, сколько одинаковых долей входит в первую и вторую части. Поэтому во всём числе содержится m+n долей: столько частей получится, если собрать доли обеих величин вместе. Деление числа на равные доли — удобный способ сначала распределить целое, а уже потом составить из долей нужные части.

Чтобы найти величину одной доли, исходное число делят на сумму чисел отношения. Например, при отношении 2:3 сумма равна 5, значит, целое нужно разделить на пять одинаковых долей. Если одна доля не будет одинаковой для обеих частей, заданное отношение нарушится. Поэтому сначала находят общую для всех частей величину доли.

В первой части должно быть m долей, а во второй — n долей. Значит, величину одной доли умножают сначала на m, затем на n. Это объясняет, почему части пропорциональны заданным числам: обе получены умножением на одно и то же число. Если, например, одна доля равна 4, то части при отношении 2:3 равны 8 и 12.

Если отношение состоит из трёх чисел, например m:n:k, рассуждение не меняется. Сначала складывают все три числа, потому что они показывают общее количество долей в целом. Затем находят одну долю и умножают её отдельно на m, n и k. Для четырёх или большего количества частей действует тот же порядок.

Проверка нужна, чтобы убедиться, что найденные числа действительно делят исходное число заданным способом. Сумма частей должна дать целое число, ведь его распределили полностью и ничего не потеряли. Кроме того, отношение частей должно совпасть с заданным: иначе доли распределили не в нужной пропорции. Эти два условия вместе помогают заметить ошибки в вычислениях и порядке частей.

Деление числа в данном отношении

Пользуйся таблицей сверху вниз: сначала найди сумму чисел отношения, затем величину одной доли и сами части. Для отношения из нескольких чисел сложи все числа отношения и умножь одну долю на каждое из них. В конце проверь сумму частей и заданное отношение.

Разбор задач

Задача 1. Разделить число 72 в отношении 5:7. Нужно получить две части, в которых первая занимает пять равных долей, а вторая — семь. Поэтому сначала определим общее число долей, а затем узнаем, сколько приходится на одну долю.

1. Складываем числа отношения: 5 + 7 = 12. Значит, число 72 состоит из 12 равных долей.
2. Находим величину одной доли: 72 ÷ 12 = 6. Это общая величина доли для обеих частей.
3. Находим первую часть: 6 × 5 = 30. Находим вторую часть: 6 × 7 = 42.
4. Проверяем: 30 + 42 = 72, а 30:42 = 5:7 после сокращения на 6. Значит, обе части подходят.

Ответ: 30 и 42.

Задача 2. Разделить число 150 в отношении 2:3:5. Здесь требуются три части, а числа отношения показывают, сколько долей должно быть в каждой. Сначала найдём общее количество долей, учитывая все три числа.

1. Складываем числа отношения: 2 + 3 + 5 = 10. Значит, число 150 состоит из 10 одинаковых долей.
2. Находим одну долю: 150 ÷ 10 = 15. Теперь составляем из неё каждую часть.
3. Первая часть равна 15 × 2 = 30, вторая — 15 × 3 = 45, третья — 15 × 5 = 75.
4. Проверяем: 30 + 45 + 75 = 150. Отношение 30:45:75 сокращается на 15 и становится 2:3:5.

Ответ: 30, 45 и 75.

Задача 3. Верёвку длиной 84 см разделили на три части в отношении 2:3:7. Требуется найти длину каждой части и убедиться, что верёвка распределена полностью. Числа 2, 3 и 7 задают количество долей в первой, второй и третьей частях.

1. Складываем числа отношения: 2 + 3 + 7 = 12. Всю длину верёвки можно представить как 12 равных долей.
2. Находим длину одной доли: 84 ÷ 12 = 7 см. Теперь умножаем её на числа отношения.
3. Первая часть: 7 × 2 = 14 см; вторая: 7 × 3 = 21 см; третья: 7 × 7 = 49 см.
4. Проверяем сумму: 14 + 21 + 49 = 84 см. Проверяем отношение: 14:21:49 сокращается на 7 и равно 2:3:7.

Ответ: 14 см, 21 см и 49 см.

Типичные ошибки

Иногда исходное число делят только на первое или только на второе число отношения. Так поступают, когда воспринимают числа отношения как обычные делители, хотя они показывают количество долей. Нужно сложить все числа отношения и делить целое на их сумму. Проверь себя: число долей должно учитывать каждую будущую часть.

Другая ошибка — умножить исходное число непосредственно на числа отношения. Тогда полученные значения, как правило, окажутся больше исходного числа в сумме, потому что целое не было сначала распределено на доли. Сначала найди одну долю делением на сумму чисел отношения, и только затем умножай её. Проверка суммы частей сразу покажет, если исходное число было использовано неверно.

Если перепутать порядок чисел отношения, части тоже будут найдены в неправильном порядке. Например, при 2:5 меньшая часть должна соответствовать числу 2, а большая — числу 5. Записывай найденные части в том же порядке, что и числа отношения. Сравни каждую часть с её числом отношения: большая доля должна давать большую часть.

Некоторые не проверяют ответ и поэтому не замечают ошибку в вычислениях или перестановку частей. Сложи все части: их сумма должна равняться исходному числу. Затем сравни их отношение с заданным, при необходимости сократив числа. Если не выполняется хотя бы одно условие, вернись к вычислению суммы долей и величины одной доли.

Связь с другими темами

Для работы с отношениями нужно уметь составлять их и сокращать, а также складывать натуральные числа и выполнять деление и умножение. Эти навыки помогают записать условие задачи и найти части без лишних действий. Сокращение отношения позволяет заменить его равным, но более простым отношением.

Этот способ пригодится в задачах на пропорции, масштаб и проценты, а также при распределении величин. Во всех таких случаях важно понять, как части связаны между собой, и сохранить заданное соотношение. Деление числа в отношении превращает это требование в последовательность вычислений.

Тема подготавливает к решению уравнений и практических задач на пропорциональное распределение. В дальнейшем можно будет находить неизвестные величины, используя связь между частями и целым. Навык проверки суммы и отношения помогает оценивать, имеет ли ответ смысл.

Что запомнить

• Чтобы разделить число в отношении, сложи числа отношения.
• Величина одной доли равна исходному числу, делённому на сумму чисел отношения.
• Каждая часть равна величине одной доли, умноженной на соответствующее число отношения.
• Сумма найденных частей должна равняться исходному числу.
• Отношение найденных частей должно совпадать с заданным отношением.
• При отношении из нескольких чисел алгоритм остаётся тем же.