§24. Окружность и круг

Определения и обозначения

Окружность — множество точек плоскости, равноудалённых от одной точки. Эту точку называют центром, а общее расстояние до неё — радиусом. Например, если каждая точка линии находится в 3 см от центра, получилась окружность радиуса 3 см. Это определение помогает узнать окружность и построить её.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. В круг входят и точки внутри границы, и сама окружность. Поэтому круг — не только линия, но и вся область, которую она окружает. Различие нужно, чтобы точно говорить о границе и о внутренней части фигуры.

Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Радиус часто обозначают буквой r. Он показывает расстояние от центра до границы, а его длина задаёт размер окружности. Например, запись r = 4 см означает, что каждый радиус этой окружности имеет длину 4 см.

Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Хордой называют отрезок, соединяющий две точки окружности, а диаметр является её особым видом. Диаметр состоит из двух радиусов, поэтому его длина равна двум радиусам: d = 2r. Это соотношение позволяет находить диаметр по радиусу и радиус по диаметру.

Как это устроено

Чтобы построить окружность с заданными центром и радиусом, сначала отмечают центр, а затем задают нужное расстояние от него. Если есть циркуль, его ножки раскрывают на длину радиуса, одну ставят в центр, а другой проводят линию. При повороте циркуля расстояние между его ножками не меняется. Поэтому каждая точка проведённой линии оказывается на одинаковом расстоянии от центра — именно так устроена окружность.

Окружность и круг отличаются тем, какие точки они включают. У окружности каждая точка лежит ровно на заданном расстоянии от центра, то есть принадлежит границе. Точки внутри находятся ближе к центру, поэтому самой окружности не принадлежат. Круг объединяет внутреннюю область с граничными точками, так что он включает и то и другое.

Все радиусы одной окружности равны не случайно: каждый из них соединяет один и тот же центр с какой-либо точкой окружности. По определению окружности расстояние от центра до любой её точки постоянно. Значит, как бы ни был направлен радиус, его длина остаётся одинаковой. Поэтому известная длина одного радиуса помогает определить длину остальных.

Диаметр равен двум радиусам, потому что проходит через центр и соединяет две точки окружности. Центр делит его на две части: от центра до одного конца и от центра до другого. Каждая такая часть — радиус, а обе части лежат на одной прямой по разные стороны от центра. Если радиус равен 5 см, то диаметр равен 5 + 5 = 10 см.

Хорда соединяет две точки окружности, и её концы всегда лежат на границе. Если хорда не проходит через центр, она может быть расположена в стороне от него. Когда же хорда проходит через центр, она называется диаметром. Поэтому любой диаметр — хорда, но не всякая хорда является диаметром; это различие помогает правильно распознавать отрезки на чертеже.

Элементы окружности и круга

Сначала определите, какие точки и отрезки лежат на границе, а затем проверьте, проходит ли отрезок через центр. Так таблица помогает отличить хорду от диаметра и круг от окружности. Для вычислений используйте связь d = 2r.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечены точки A, B и O; OA = 4 см, а O — центр окружности. Назовите радиус и укажите его длину. Чтобы решить задачу, выясним, где находится конец отрезка AО: по условию O — центр, а точка A лежит на окружности. Значит, отрезок соединяет центр с точкой окружности.

1. Вспоминаем определение радиуса: это отрезок от центра до точки окружности.
2. Проверяем отрезок OA: его начало — центр O, а конец A — точка окружности.
3. Следовательно, OA является радиусом; его длина уже дана в условии и равна 4 см.

Ответ: радиус OA, его длина — 4 см. Точка B здесь не меняет ответ: для определения радиуса достаточно проверить концы отрезка. Если бы B тоже лежала на окружности, OB был бы ещё одним радиусом той же длины.

Задача 2. Радиус окружности равен 3,5 см. Найдите длину её диаметра. Диаметр проходит через центр и состоит из двух радиусов, расположенных по разные стороны от него. Поэтому для вычисления нужно сложить две одинаковые длины, или умножить радиус на 2.

1. Записываем связь диаметра и радиуса: d = 2r.
2. Подставляем значение радиуса: d = 2 · 3,5 см.
3. Выполняем умножение: d = 7 см.

Ответ: длина диаметра — 7 см. Проверить результат можно обратным действием: половина от 7 см равна 3,5 см, то есть исходному радиусу. При умножении единицу измерения сохраняем.

Задача 3. Диаметр окружности AB равен 12 см, O — центр, а точка C лежит на окружности. Найдите AO и OC и объясните, почему эти отрезки равны. Сначала используем то, что центр делит диаметр пополам. Затем сравним отрезок AO с OC: первый является частью диаметра, а второй — радиусом до точки C.

1. Так как O — центр на диаметре AB, отрезки AO и OB равны, а каждый составляет половину диаметра.
2. Вычисляем: AO = 12 : 2 = 6 см.
3. Точка C лежит на окружности, поэтому OC — радиус. Все радиусы одной окружности равны, следовательно, OC = AO = 6 см.

Ответ: AO = 6 см, OC = 6 см. Отрезки равны, потому что оба являются радиусами одной окружности: AO — половина диаметра, а OC соединяет центр с точкой окружности. Здесь использованы и свойство диаметра, и равенство радиусов.

Типичные ошибки

Ошибка — называть кругом только граничную линию. Так путают фигуру с её очертанием, потому что в обычной речи эти слова иногда используют неточно. Помни: сама граница — окружность, а круг включает ещё и внутреннюю область. Проверка простая: спроси себя, входят ли в названную фигуру точки внутри линии.

Ошибка — считать радиусом любой отрезок внутри круга. Отрезок может находиться внутри, но не начинаться в центре или не доходить до окружности. Радиус обязательно соединяет центр с точкой окружности. Чтобы проверить себя, найди оба его конца: один должен быть центром, другой — на границе.

Ошибка — путать хорду и диаметр, считая, что любая хорда проходит через центр. Это происходит, когда запоминают только то, что хорда соединяет точки окружности. На самом деле через центр проходит лишь особая хорда — диаметр. Проверь положение отрезка: если центр не лежит на нём, это хорда, но не диаметр.

Ошибка — приравнивать радиус диаметру или делить диаметр не пополам. Диаметр состоит из двух радиусов, поэтому он вдвое длиннее каждого из них. Для проверки запиши d = 2r; если ищешь радиус, выполни обратное действие r = d : 2. Например, при диаметре 8 см радиус равен 4 см, а не 8 см.

Связь с другими темами

Для работы с окружностью нужно уметь распознавать точку и отрезок, находить расстояние между точками и измерять длину отрезка. Эти знания позволяют понимать, что именно обозначают центр и радиус, и выполнять вычисления с их длинами. Позже радиус, диаметр и хорда пригодятся в геометрических построениях, при изучении углов и свойств многоугольников. Умение отличать эти элементы помогает точнее читать чертежи и решать задачи.

Что запомнить

• Окружность — линия, все точки которой равноудалены от центра.
• Круг состоит из окружности и всех точек внутри неё.
• Радиус соединяет центр с точкой окружности.
• Все радиусы одной окружности равны.
• Хорда соединяет две точки окружности.
• Диаметр — хорда, проходящая через центр.
• Диаметр равен двум радиусам: d = 2r.