Окружность и круг

Определения и обозначения

Окружность — замкнутая линия, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от одной точки. Эту точку называют центром, а расстояние до любой точки окружности — радиусом. Например, если центр обозначен O, то все точки окружности удалены от O на одно и то же расстояние. Так можно точно описать форму окружности и отличить её от других замкнутых линий.

Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Если центр — O, а точка на окружности — A, радиус можно обозначить OA или буквой r. Конец отрезка должен лежать именно на окружности, а не просто внутри круга. Это обозначение помогает находить размеры окружности и сравнивать их.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. В него входят и сама граница, и все точки внутри неё, тогда как окружность — только граница. Например, у монеты можно условно различить внешний контур и всю её плоскую поверхность. Различие нужно, чтобы понимать, говорим ли мы о линии или об области.

Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности; хорда — отрезок между двумя точками окружности. Поэтому концы диаметра лежат на окружности, а сам он проходит через её центр. Диаметр разделяется центром на две части, каждая из которых является радиусом. Это позволяет связывать длину диаметра с длиной радиуса.

Как это устроено

Окружность можно построить циркулем, потому что его устройство позволяет сохранять одно и то же расстояние между ножками. Остриё ставят в выбранный центр, а карандашную ножку располагают на нужном удалении от него. Если вращать циркуль, карандаш всё время остаётся на одинаковом расстоянии от острия. Поэтому начерченная линия соответствует определению окружности, а расстояние между ножками задаёт её радиус.

Все радиусы одной окружности равны не из-за особого свойства отдельных отрезков, а по самому определению окружности. Каждый радиус начинается в одном центре и заканчивается в точке этой окружности. Любая такая точка удалена от центра на одно и то же расстояние, значит, длина каждого радиуса одинакова. Например, отрезки OA и OB равны, если A и B лежат на одной окружности с центром O.

Диаметр проходит через центр, поэтому центр делит его на две части. Каждая часть соединяет центр с точкой окружности и потому является радиусом. Длина диаметра складывается из длин этих двух равных отрезков, значит, она вдвое больше радиуса. Если радиус обозначен r, а диаметр d, получаем формулу d = 2r.

Хорда соединяет две точки окружности, и диаметр тоже соединяет две такие точки. Отличие в том, что диаметр обязательно проходит через центр, а хорда может проходить в стороне от него. Поэтому диаметр — особый случай хорды, но не любая хорда является диаметром. Чтобы проверить, является ли отрезок диаметром, достаточно выяснить, лежит ли центр на этом отрезке.

Круг включает все точки внутри окружности и саму окружность, потому что граница ограничивает соответствующую часть плоскости. У окружности нет внутренней области в качестве части самой линии: она состоит только из точек границы. Такое различие важно, например, когда нужно назвать только контур фигуры или всю заполненную область. Поэтому окружность и круг нельзя использовать как названия одного и того же объекта.

Основные элементы окружности и круга

Сначала найдите в таблице нужное понятие, а затем сравните, что оно обозначает и как связано с радиусом. Если речь идёт об отрезке между двумя точками окружности, проверьте, проходит ли он через центр: это поможет отличить хорду от диаметра. Для вычислений используйте связь d = 2r.

Разбор задач

Задача 1. Начертить окружность с центром O и радиусом 3 см, отметить на ней точки A и B и провести отрезки OA и OB. Нужно получить окружность заданного размера и показать радиусы. Для построения используем циркуль, поскольку он сохраняет постоянное расстояние от центра до линии.

1. Отметим точку O и раскроем циркуль на 3 см, измерив расстояние линейкой.
2. Поставим остриё циркуля в O и, не меняя раскрытия, повернём циркуль вокруг этой точки.
3. На начерченной линии отметим точки A и B, затем проведём отрезки OA и OB.
4. Оба отрезка соединяют центр с точками окружности, поэтому являются радиусами и имеют длину 3 см.

Ответ: окружность построена; OA = OB = 3 см. Равенство отрезков подтверждается тем, что обе точки A и B лежат на одной окружности с центром O.

Задача 2. Радиус окружности равен 4 см. Найти диаметр. Диаметр состоит из двух радиусов, поэтому нужно сложить длины двух равных частей, а не прибавлять к радиусу произвольное число.

1. Запишем известные данные: r = 4 см.
2. Используем формулу d = 2r, так как диаметр содержит два радиуса.
3. Подставим значение: d = 2 · 4 = 8 см.
4. Проверим единицы: радиус задан в сантиметрах, значит, и ответ записываем в сантиметрах.

Ответ: диаметр равен 8 см. Он вдвое длиннее радиуса, что соответствует определению диаметра.

Задача 3. Диаметр окружности равен 14 см. Найти радиус и объяснить, почему отрезок между двумя точками окружности может не быть диаметром. Диаметр делится центром на два равных радиуса, поэтому для нахождения одного радиуса надо разделить его длину пополам. Для второй части задания достаточно проверить положение центра относительно отрезка.

1. Запишем известное значение: d = 14 см.
2. Выразим радиус из формулы d = 2r: r = d : 2.
3. Вычислим: r = 14 : 2 = 7 см.
4. Отрезок между двумя точками окружности является хордой; он будет диаметром только тогда, когда проходит через центр.

Ответ: радиус равен 7 см. Отрезок может быть хордой, но не диаметром, если центр окружности не лежит на нём.

Типичные ошибки

Ошибка: считать окружность и круг одним и тем же. Так думают, потому что в обычной речи этими словами иногда называют похожие предметы, но в геометрии одно обозначает границу, а другое — область вместе с границей. Проверьте себя: если описываете только линию контура, это окружность; если всю область внутри неё — круг. Такое различение особенно помогает в задачах о фигурах и их частях.

Ошибка: называть радиусом отрезок от центра до любой точки внутри круга. Путаница возникает потому, что такой отрезок тоже начинается в центре, однако его конец не достигает окружности. Спросите себя, лежит ли конечная точка на границе круга. Если нет, этот отрезок не является радиусом.

Ошибка: считать любую хорду диаметром. Оба отрезка соединяют две точки окружности, поэтому их легко перепутать, но у диаметра есть дополнительное условие: он проходит через центр. Проверьте положение центра относительно отрезка. Если центр на нём не лежит, перед вами хорда, но не диаметр.

Ошибка: считать, что радиус вдвое больше диаметра. Здесь меняют местами величины, потому что не замечают, что диаметр состоит из двух радиусов. Проверьте результат по формуле d = 2r: при радиусе 4 см диаметр должен быть 8 см, а не 2 см. Если известен диаметр, радиус, наоборот, получают делением на два.

Связь с другими темами

Для изучения окружности и круга нужно уметь распознавать точку, отрезок и прямую, а также измерять длину отрезка. Эти знания помогают отмечать центр, проводить радиусы и находить их длины. Позже понятия пригодятся при изучении длины окружности и площади круга. Они также используются в построениях циркулем и задачах о геометрических фигурах.

Что запомнить

• Центр окружности равноудалён от всех её точек.
• Радиус соединяет центр с точкой окружности.
• Все радиусы одной окружности равны.
• Хорда соединяет две точки окружности.
• Диаметр — хорда, проходящая через центр.
• Диаметр равен двум радиусам: d = 2r.
• Круг состоит из окружности и её внутренней области.