Центр и радиус

Определения и обозначения

Окружность — множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от заданной точки. Иначе говоря, если двигаться по окружности, расстояние до этой точки не меняется. Это определение позволяет понять, какие точки относятся к окружности, и отличить её от других линий.

Центр окружности — заданная точка, от которой все точки окружности равноудалены; обычно её обозначают заглавной буквой, например O. Центр не лежит на линии окружности: он задаёт положение этой линии. Зная центр, можно указать, от какой точки измеряется расстояние до каждой точки окружности.

Радиус окружности — отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности; его длину также называют радиусом и обозначают буквой r. Например, если центр — O, а точка на окружности — A, то отрезок OA является радиусом. Это понятие нужно, чтобы описывать размер окружности и строить её с помощью циркуля.

Как это устроено

Чтобы построить окружность циркулем, сначала выбирают точку центра и устанавливают расстояние между ножками, равное нужному радиусу. Затем одну ножку закрепляют в центре, а другой проводят линию, вращая циркуль. Расстояние между ножками при этом не меняется, поэтому в каждой точке проведённой линии получается одно и то же расстояние до центра. Если раздвинуть ножки, окружность станет больше, а если сблизить — меньше.

Равенство расстояний возникает не случайно: оно заложено в устройстве циркуля и в определении окружности. Одна ножка остаётся в центре, а другая всё время находится на одинаковом расстоянии от неё. Поэтому каждая точка, оставленная карандашом, удалена от центра ровно на радиус. Если бы расстояние менялось, получилась бы линия, точки которой не удовлетворяют определению окружности.

Радиус можно провести к любой точке окружности, потому что каждая её точка находится на одном и том же расстоянии от центра. Отрезок от центра O до точки A обозначают OA, а от центра O до точки B — OB. Эти отрезки могут быть направлены в разные стороны, но их длины равны. Поэтому радиусом называют и любой такой отрезок, и его общую для данной окружности длину.

Окружность обычно называют по её центру: например, говорят «окружность с центром O». Такая запись сообщает, какая именно точка считается центром, и помогает не смешивать окружности с центрами O и P. Если окружности нужно различить ещё и по размеру, указывают радиус или его длину. Один только радиус не сообщает положение окружности на плоскости, а один центр не сообщает её размер.

Окружность состоит только из точек на границе, удалённых от центра на заданное расстояние. Круг включает эту границу и все точки внутри неё, то есть точки, расстояние от которых до центра меньше радиуса. Поэтому закрашенный диск — круг, а его край — окружность. В задачах важно уточнять, рассматривается линия или вся внутренняя область.

Основные элементы окружности

Сначала найди в условии точку, которую называют центром, затем определи отрезок от неё до окружности. Для записи длины используй единицы измерения, а для отрезка укажи обе его конечные точки. Название окружности по центру помогает понять, о какой линии идёт речь.

Разбор задач

Построй окружность с центром O и радиусом 3 см.

Нужно начертить линию, каждая точка которой удалена от O на 3 см. Для этого удобнее использовать циркуль: он сохраняет одинаковое расстояние между центром и карандашом во время построения. Перед началом проверь, что ножки циркуля не сдвигаются.

1. Отмерь линейкой расстояние 3 см между иглой и грифелем циркуля. Это расстояние будет радиусом будущей окружности.
2. Поставь иглу циркуля в точку O и, удерживая её на месте, поверни циркуль. Грифель проведёт линию на одинаковом расстоянии от O.
3. Убедись, что линия замкнулась, а расстояние между ножками не менялось. Значит, точки построенной линии удалены от центра на 3 см.

Ответ: построена окружность с центром O и радиусом 3 см. Если поставить иглу не в O или изменить размах циркуля, условие задачи выполнено не будет. Поэтому полезно сначала проверить и центр, и размах инструмента.

Точка A лежит на окружности с центром O. Известно, что OA = 4 см. Укажи радиус и его длину.

В этой задаче уже названы центр и точка окружности. Чтобы определить радиус, нужно проверить, соединяет ли отрезок центр с точкой на окружности. Отрезок OA как раз имеет такие концы.

1. Сравни концы отрезка OA с определением радиуса: O — центр, A лежит на окружности. Следовательно, OA является радиусом.
2. Используй данное в условии равенство OA = 4 см. Оно задаёт длину найденного радиуса.
3. Запиши отдельно название отрезка и его длину, чтобы не смешивать эти два смысла слова «радиус». Здесь отрезок обозначен OA, а его длина равна 4 см.

Ответ: радиус — отрезок OA, его длина — 4 см. Проверка простая: один конец отрезка находится в центре, другой — на окружности. Если бы A была внутренней точкой, OA не считался бы радиусом.

Точки A и B лежат на окружности с центром O. Известно, что OA = 5 см. Сравни длины OA и OB и объясни ответ.

Оба отрезка начинаются в центре O и заканчиваются в точках окружности. Значит, каждый из них является радиусом одной и той же окружности. Для сравнения не требуется измерять OB отдельно: достаточно свойства всех точек окружности.

1. Так как A и B лежат на окружности, расстояния от O до этих точек равны. Следовательно, длины радиусов OA и OB одинаковы.
2. Подставь известную длину OA = 5 см. Поскольку OB равен OA, его длина тоже составляет 5 см.
3. Проверь, что речь идёт об одной окружности и одном центре O. Если бы центры были разными, вывод о равенстве радиусов только по этому условию сделать было бы нельзя.

Ответ: OA = OB = 5 см. Равенство следует из определения окружности: все её точки находятся на одинаковом расстоянии от центра. Поэтому построение или измерение второго отрезка для ответа не требуется.

Типичные ошибки

Иногда радиусом называют только его длину и забывают об отрезке. Так происходит потому, что слово «радиус» используется в двух близких смыслах: это и отрезок, и величина его длины. Проверь себя: если спрашивают, какой отрезок является радиусом, назови его двумя буквами, а если спрашивают длину — укажи число и единицы.

Центром иногда считают любую точку внутри окружности. Но центр — не произвольная точка: расстояния от него до всех точек окружности должны быть одинаковы. Чтобы проверить выбор, представь или измерь несколько таких расстояний; если они различаются, выбранная точка не является центром.

Можно ошибочно решить, что радиусы одной окружности имеют разную длину, если они нарисованы под разными углами или выглядят неодинаково. Направление отрезка не меняет расстояние от центра до окружности, поэтому все радиусы равны. Проверка по определению проста: у отрезков общий конец в центре, а другие концы лежат на одной окружности.

Окружность и круг порой принимают за одно и то же, потому что в быту эти слова могут употреблять неточно. В геометрии окружность — только линия, а круг — область внутри неё вместе с границей. Проверь себя вопросом: рассматриваются точки края или также точки внутри? Ответ подскажет, какой объект имеется в виду.

Связь с другими темами

Для работы с окружностью нужно уметь различать точку и отрезок, измерять длину отрезка и пользоваться циркулем. Без этих навыков трудно правильно задать центр и радиус при построении. Полезно также записывать длину с единицами, например 3 см.

Центр и радиус понадобятся при изучении круга и диаметра, а также в геометрических построениях. Радиус помогает находить длины отрезков и сравнивать расстояния от центра до точек окружности. Понимание равенства радиусов пригодится и в задачах, где нужно обосновать равенство отрезков.

Что запомнить

• Окружность состоит из точек, равноудалённых от одной заданной точки.
• Заданная точка называется центром окружности.
• Отрезок от центра до точки окружности называется радиусом.
• Все радиусы одной окружности равны.
• Радиус задаёт расстояние от центра до каждой точки окружности.
• Окружность — линия, а круг — часть плоскости внутри неё вместе с границей.