7.3. Окружность и круг

Определения и обозначения

Окружность — линия, состоящая из всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от одной точки. Эту точку называют центром окружности и часто обозначают буквой O. Окружность задаёт границу круглой фигуры.

Круг — часть плоскости, состоящая из точек внутри окружности и самой окружности. Значит, круг не ограничивается одной линией, а включает всю внутреннюю область. Такое различие помогает точно описывать положение точек и границы фигур.

Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Радиусом называют также длину этого отрезка; обычно её обозначают буквой r. Все радиусы одной окружности имеют одинаковую длину.

Диаметр — отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр. Он состоит из двух радиусов, расположенных на одной прямой по разные стороны от центра. Поэтому диаметр обозначают d, и его длина вдвое больше радиуса.

Как это устроено

Для построения окружности достаточно задать её центр и радиус. Центр показывает, от какой точки нужно отсчитывать расстояние, а радиус — каким оно должно быть. Все точки будущей окружности находятся от центра на одном и том же расстоянии, поэтому других данных не требуется.

Циркуль помогает сохранить одинаковое расстояние при построении. Его иглу ставят в заданный центр, а грифель устанавливают на расстоянии, равном радиусу. Если вращать циркуль, игла остаётся в центре, а грифель проходит по всем точкам, удалённым от него на выбранное расстояние.

Окружность и круг связаны, но это не одно и то же. Окружность является границей, подобно краю рисунка, а круг включает и границу, и всё пространство внутри неё. Поэтому закрашенная внутренняя область с краем — это круг, а один замкнутый контур — окружность.

Положение точки относительно круга определяют сравнением расстояния от неё до центра с радиусом. Если расстояние меньше радиуса, точка находится внутри круга; если равно радиусу, она лежит на окружности. При расстоянии больше радиуса точка расположена снаружи круга, потому что до неё не дотягивается круговая область.

Диаметр равен двум радиусам, потому что проходит через центр. От центра к одной стороне окружности идёт один радиус, а от центра к противоположной стороне — второй. Эти отрезки лежат на одной прямой и соединяются в диаметр, поэтому d = r + r = 2r.

Окружность и круг: основные понятия

В таблице сначала определите, идёт ли речь о линии или о всей области. Затем сравните расстояние от точки до центра с радиусом. Если расстояние равно радиусу, точка лежит на окружности и одновременно принадлежит кругу.

Разбор задач

Задача 1. Построение окружности

Нужно начертить окружность с центром O и радиусом 3 см. Радиус задаёт расстояние от иглы циркуля до грифеля. Поэтому раствор циркуля должен быть равен 3 см.

1. Поставим иглу циркуля в точку O.
2. Раздвинем ножки так, чтобы расстояние между иглой и грифелем стало 3 см.
3. Повернём циркуль вокруг иглы, не меняя расстояния между ножками.

Ответ: получится окружность с центром O и радиусом 3 см.

Задача 2. Нахождение диаметра

Радиус окружности равен 4 см. Требуется найти диаметр. Диаметр состоит из двух радиусов, поэтому нужно умножить известную длину радиуса на 2.

1. Запишем формулу: d = 2r.
2. Подставим значение радиуса: d = 2 · 4 см.
3. Выполним умножение: d = 8 см.

Ответ: длина диаметра равна 8 см.

Задача 3. Положение точек

Радиус круга равен 5 см. Расстояния от его центра до точек A, B и C равны соответственно 3 см, 5 см и 7 см. Для каждой точки сравним её расстояние с радиусом 5 см.

1. Для точки A: 3 см меньше 5 см, значит, A находится внутри круга.
2. Для точки B: 5 см равно 5 см, значит, B лежит на окружности.
3. Для точки C: 7 см больше 5 см, значит, C находится вне круга.

Ответ: A — внутри круга, B — на окружности, C — вне круга.

Типичные ошибки

Иногда круг называют окружностью и наоборот. Так происходит, потому что в обычной речи эти слова часто смешивают. Проверьте себя: если рассматривается только граница, это окружность, а если ещё и внутренняя часть — круг.

Радиусом могут ошибочно считать любое расстояние внутри круга. Но радиус — именно отрезок от центра до точки окружности, а его длина — расстояние от центра до границы. Найдите центр и убедитесь, что отрезок начинается в нём.

Не каждый отрезок между двумя точками окружности является диаметром. Диаметр обязательно проходит через центр, иначе это просто хорда. Проведите мысленно линию отрезка и проверьте, пересекает ли она центр.

Точку на окружности иногда считают находящейся вне круга. Ошибка появляется, если круг представляют только как закрашенную середину. Помните: граница входит в круг, поэтому такая точка принадлежит кругу.

Связь с другими темами

Для изучения окружности и круга нужны понятия точки, отрезка, плоскости и расстояния между точками. Без них нельзя точно описать центр, границу или положение точки. Сравнение расстояний помогает применять определения на практике.

Радиус и диаметр встретятся при изучении других геометрических фигур и измерений. Эти понятия нужны для вычисления длины окружности и площади круга. Умение пользоваться циркулем также пригодится при построении фигур.

Что запомнить

• Окружность состоит из точек, равноудалённых от центра.
• Круг — это окружность вместе со всеми точками внутри неё.
• Радиус соединяет центр с точкой окружности.
• Диаметр проходит через центр и соединяет две точки окружности.
• Диаметр равен двум радиусам.
• Точка на окружности принадлежит и кругу.