"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Равными называют геометрические фигуры, которые полностью совпадают при наложении. Чтобы проверить это, одну фигуру можно переместить, повернуть или перевернуть, не растягивая и не сжимая её. Тогда положение на чертеже не помешает сравнению. У равных фигур совпадают все соответствующие точки и части: у отрезков — длины, у углов — величины, у многоугольников — вершины, стороны и углы. Это понятие помогает сравнивать фигуры и выполнять геометрические построения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равные геометрические фигуры — фигуры, которые совпадают при наложении. Это значит, что у них одинаковы и форма, и размеры, а не только внешний вид. Такое определение помогает решить, можно ли считать две фигуры одной и той же фигурой, если их расположение различается.
Наложение — способ сравнить фигуры, совместив одну фигуру с другой без изменения её формы и размеров. Например, можно вырезать бумажную фигуру и положить её поверх другой. Так проверяют совпадение целиком, не полагаясь только на взгляд или измерение одной части.
Соответствующие элементы — точки, отрезки и углы равных фигур, которые совмещаются при наложении. Например, если одна вершина оказалась точно над другой, эти вершины соответствуют друг другу. Это понятие нужно, чтобы правильно сравнивать части фигур и не путать разные стороны или вершины.
Равные отрезки и углы — отрезки одинаковой длины и углы одинаковой величины. Длина показывает, сколько места занимает отрезок, а величина угла — насколько широко расходятся его стороны. Эти сравнения помогают проверять отдельные элементы и описывать совпадение фигур.
Равенство устанавливают наложением, потому что этот способ показывает совпадение всей фигуры, а не только отдельных частей. Если фигуры совпали, то каждой точке одной фигуры соответствует точка другой, и все части занимают одинаковое место. Если хотя бы часть выступает или не закрывается, полного совпадения нет. Поэтому при проверке смотрят на границы и внутренние части фигуры целиком.
Фигуру можно сдвинуть, повернуть или перевернуть, сохранив её форму и размеры. При перемещении все её точки проходят одинаковое расстояние в одном направлении, при повороте фигура вращается вокруг точки, а при переворачивании как бы отражается. Ни одно из этих действий не растягивает и не сжимает фигуру. Поэтому после такого движения она может занять другое место, но останется той же фигурой.
Положение фигуры на чертеже не влияет на равенство, потому что чертёж показывает, где фигуру нарисовали, а не меняет её свойства. Один треугольник может стоять на основании, а другой — быть повёрнут вершиной вниз. Если их можно совместить поворотом или перемещением, они равны. Сравнивать нужно длины и расположение частей после совмещения, а не направление фигуры на листе.
При наложении находят соответствующие точки и части: те, которые оказываются друг над другом. У многоугольников сначала удобно совместить одну вершину и прилегающие к ней стороны, а затем проверить остальные вершины. Совпадающие стороны и углы тоже будут соответствующими. Такой порядок помогает не сравнить, например, короткую сторону одной фигуры с длинной стороной другой.
Равенство означает совпадение и формы, и размеров, а похожесть формы сама по себе этого не доказывает. Два одинаково устроенных прямоугольника могут различаться длиной сторон, поэтому один не закроет другой при наложении. Также равенство одной стороны или одного угла не гарантирует равенство всего многоугольника. Чтобы сделать вывод, нужно проверить все части фигуры, а не выбрать только удобное совпадение.
Пользуйтесь таблицей как подсказкой: сначала определите, какие фигуры сравниваете, затем выберите нужные элементы и способ проверки. Для отрезка сравнивают длины, для угла — величины, а для многоугольника проверяют совпадение соответствующих частей. Равенство отдельных элементов не заменяет проверку всей фигуры.
| Вид фигур | Условие равенства | Что сравнивают | Способ проверки |
|---|---|---|---|
| Любые геометрические фигуры | Фигуры полностью совпадают при наложении | Все точки и части фигур | Наложение одной фигуры на другую |
| Отрезки | Имеют одинаковую длину | Длины отрезков | Сравнение длин или наложение |
| Углы | Имеют одинаковую величину | Величины углов и положение их сторон | Наложение или сравнение величин |
| Многоугольники | Совпадают при наложении | Соответствующие вершины, стороны и углы | Совмещение соответствующих элементов |
На рисунке изображены два отрезка, расположенные в разных направлениях. Определите, равны ли они, если длина каждого отрезка равна 6 см. Разное направление может отвлекать, но не меняет длину. Проверим, что именно требуется сравнить.
Даны два треугольника на клетчатой бумаге. Один из них повёрнут и расположен в другой части рисунка. Определите, равны ли треугольники. Здесь важно проверить все стороны и вершины, а не только заметить похожую форму. Клетки помогают проследить размеры частей при повороте.
Из нескольких изображённых фигур выберите пары равных фигур, учитывая возможное переворачивание и поворот. Сначала не делайте вывод по тому, что фигуры просто похожи. Нужно проверить, получится ли совместить каждую пару без растягивания, сжатия или изменения её частей.
Фигуры иногда считают неравными из-за того, что на чертеже они направлены по-разному. Так происходит, когда сравнивают их положение, а не размеры и форму. Проверьте себя: мысленно сдвиньте и поверните одну фигуру; если после этого все части совпали, фигуры равны.
Другая ошибка — принимать фигуры одинаковой формы за равные, даже если одна больше другой. Их контуры похожи, поэтому различие в размерах легко не заметить. Представьте наложение: если стороны не совпадают по длине или границы не закрывают друг друга, фигуры не равны.
Нельзя делать вывод о равенстве многоугольников только по одной одинаковой стороне. Такой элемент может совпасть, хотя остальные стороны или углы различаются. Сверьте все части при наложении; совпадение одной стороны — лишь часть проверки, а не доказательство равенства целых фигур.
При наложении можно ошибочно совместить неподходящие вершины или стороны. Тогда кажется, что фигуры не совпадают, хотя нужно было начать с другой вершины, либо наоборот. Проверяйте порядок соседних сторон и углов: соответствующие части должны идти друг за другом так же, как в самой фигуре.
Для сравнения фигур пригодятся знания о длине отрезка, величине угла, видах геометрических фигур и измерениях. Равенство фигур понадобится при изучении свойств треугольников, построений циркулем и линейкой, симметрии и доказательстве геометрических утверждений. Оно также помогает сравнивать чертежи и разбирать фигуры на части. При нахождении площадей важно уметь замечать, когда части или целые фигуры совпадают.
Могут ли фигуры быть равными, если они расположены под разными углами?
Да. Поворот не меняет форму и размеры фигуры. Если после поворота фигуры полностью совпадут, они равны.
Обязательно ли фигуры должны совпадать на рисунке без перемещения?
Нет. Можно переместить фигуру, повернуть её или перевернуть. Главное, чтобы при таком наложении совпали все её части.
Чем равные фигуры отличаются от фигур одинаковой формы?
Равные фигуры совпадают целиком, значит, у них одинаковы и форма, и размеры. Фигуры одной формы, но разного размера могут выглядеть похоже, однако при наложении не совпадут.
Достаточно ли равенства одной стороны, чтобы считать равными два многоугольника?
Нет. Одна одинаковая сторона не показывает, равны ли остальные части многоугольников. Нужно проверить совпадение фигур целиком.
Как правильно определить соответствующие элементы двух равных фигур?
Наложите одну фигуру на другую так, чтобы они совпали. Точки и части, оказавшиеся друг над другом, — соответствующие: например, вершины, стороны и углы.
7.2. Равенство геометрических фигур
