7.1. Треугольники и их виды

Определения и обозначения

Треугольник — фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти точки. Точки называют вершинами, а отрезки — сторонами треугольника. Если бы все три точки лежали на одной прямой, замкнутой фигуры не получилось бы. Это определение помогает отличить треугольник от других фигур.

Треугольник ABC называют по буквам его вершин: A, B и C. Эти точки — вершины, а отрезки AB, BC и CA — стороны. Буквы помогают указывать, о какой фигуре, стороне или угле идёт речь. Например, AB обозначает сторону, соединяющую вершины A и B.

По длинам сторон треугольники называют равносторонними, равнобедренными или разносторонними. У равностороннего все три стороны равны, у равнобедренного равны две стороны, а у разностороннего все стороны различны. Сравнение длин позволяет определить вид фигуры, даже если она нарисована не очень точно. Поэтому лучше опираться на данные измерений, а не только на внешний вид.

По величинам углов различают остроугольные, прямоугольные и тупоугольные треугольники. В остроугольном все углы острые, в прямоугольном один угол прямой, а в тупоугольном один угол тупой. Острый угол меньше прямого, а тупой — больше прямого. Такая классификация показывает, как устроены углы фигуры.

Как это устроено

В треугольнике три вершины, три стороны и три угла: каждая пара соседних сторон встречается в одной вершине. Например, стороны AB и BC соединяются в точке B и образуют угол ABC. Поэтому название по трём буквам позволяет понять, какие именно вершины и части фигуры имеют в виду. Обычно буквы читают по порядку обхода треугольника.

Чтобы определить вид треугольника по сторонам, нужно сравнить длины всех трёх отрезков. Если совпали все три длины, треугольник равносторонний; если совпали ровно две — равнобедренный; если ни одна длина не повторяется — разносторонний. Это сравнение важно проводить для каждой стороны, потому что одинаковый на вид рисунок может скрывать разные длины. Измерения или числа в условии дают надёжный признак.

У равностороннего треугольника все стороны равны, значит, равны и любые две из них. Поэтому он удовлетворяет и более широкому признаку равнобедренного: наличию двух равных сторон. В школьной классификации его обычно выделяют отдельно, чтобы подчеркнуть равенство всех трёх сторон. У разностороннего же ни одна пара сторон не равна.

По углам название выбирают, проверяя все углы фигуры. Если каждый угол меньше прямого, треугольник остроугольный; если один угол равен прямому — прямоугольный; если один угол больше прямого — тупоугольный. В треугольнике не может быть двух прямых или двух тупых углов: их сумма уже достигла бы или превысила 180°, тогда как третий угол тоже должен иметь величину больше нуля. Поэтому прямой или тупой угол может быть только один.

Названия по сторонам и углам отвечают на разные вопросы: равны ли стороны и какие углы у фигуры. По этой причине признаки не мешают друг другу. Сначала можно определить вид по длинам, а затем независимо проверить углы. Например, если у фигуры две равные стороны и один прямой угол, она равнобедренная и прямоугольная одновременно.

Виды треугольников

Сначала выбери основание классификации: стороны или углы. Для первого сравни длины, для второго проверь величины углов. Если нужны оба названия, выполни проверки по очереди и запиши оба результата.

Разбор задач

Условие: у треугольника ABC стороны AB = 4 см, BC = 4 см, CA = 6 см. Определите его вид по сторонам. Здесь нужно не складывать длины, а выяснить, какие из них совпадают. Сравним три указанных значения.

1. Запишем длины: AB равна 4 см, BC равна 4 см, CA равна 6 см.
2. Сравним стороны AB и BC: обе имеют длину 4 см, значит, они равны.
3. Сторона CA отличается от них, поэтому равны две стороны, но не все три.

Ответ: треугольник ABC равнобедренный. Равносторонним он не является, потому что сторона CA имеет другую длину. Так мы проверили признак по всем трём сторонам.

Условие: у треугольника один угол прямой, а две стороны равны. Назовите его вид по углам и по сторонам. В задаче уже даны признаки из двух разных классификаций. Не нужно выбирать только один из них: каждый сообщает отдельную характеристику фигуры.

1. Прямой угол — признак классификации по углам.
2. Треугольник с одним прямым углом называют прямоугольным.
3. Две равные стороны — признак классификации по сторонам, поэтому треугольник равнобедренный.

Ответ: треугольник прямоугольный и равнобедренный. Эти названия не противоречат друг другу, потому что описывают разные свойства. В ответе полезно указать оба вида и назвать, к какому признаку относится каждый.

Условие: длины сторон треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Определите вид по сторонам, а по рисунку с прямым углом — вид по углам. Числа сообщают о длинах, а отметка прямого угла на рисунке — об углах. Эти признаки нужно обработать отдельно, не выводя величину угла из длины стороны.

1. Сравним длины 3 см, 4 см и 5 см: все три числа различны.
2. Значит, все стороны имеют разную длину, и по сторонам треугольник разносторонний.
3. На рисунке отмечен прямой угол. По углам такой треугольник называют прямоугольным.

Ответ: треугольник разносторонний по сторонам и прямоугольный по углам. Длины сами по себе здесь использованы только для первого названия. Второе название получено по отметке угла.

Типичные ошибки

Первая ошибка — назвать треугольник равносторонним, если равны только две стороны. Так происходит, когда путают равенство двух сторон с равенством всех трёх. Проверь каждую из трёх длин: для равностороннего они должны совпасть все. Если совпала только одна пара, подходит название «равнобедренный».

Иногда считают, что равнобедренный треугольник не может быть равносторонним. Причина — слова воспринимаются как названия двух совершенно разных видов, хотя равносторонний тоже имеет две равные стороны. Проверь определение равнобедренного: в нём требуется наличие пары равных сторон. У равностороннего такая пара есть, а особое название уточняет, что равны все стороны.

Ещё одна ошибка — определять вид по углам только на глаз. Рисунок может быть неточным, а угол, который кажется прямым или тупым, может оказаться острым. Проверяй отметку прямого угла или сравнивай угол с прямым с помощью угольника, если это возможно. Так ты не будешь подменять измерение впечатлением.

Некоторые думают, что название по сторонам исключает название по углам. Это неверно: классификации описывают разные признаки, поэтому их можно сочетать. Для проверки отдельно сравни длины сторон и отдельно определи величины углов. Например, один треугольник может быть равнобедренным по сторонам и прямоугольным по углам.

Связь с другими темами

Для изучения треугольников нужны понятия точки, отрезка и угла. Также нужно уметь сравнивать длины отрезков и величины углов: без этого не получится уверенно определить вид фигуры. Если признаки на рисунке трудно различить, помогут измерительные инструменты и данные условия. Эти навыки уже используются при работе с другими геометрическими фигурами.

Классификация треугольников пригодится при геометрических построениях и дальнейшем изучении свойств треугольника. Название сразу подсказывает, какие особенности стоит проверить, например равные стороны или прямой угол. Это помогает точнее выполнять построения и описывать фигуры. Позже такие признаки будут нужны при решении более сложных геометрических задач.

Что запомнить

• У треугольника три вершины, три стороны и три угла.
• Треугольник равносторонний, если все его стороны равны.
• Треугольник равнобедренный, если две его стороны равны.
• Треугольник разносторонний, если все его стороны различны.
• В остроугольном треугольнике все углы острые.
• В прямоугольном треугольнике один угол прямой, в тупоугольном — один угол тупой.
• Треугольник можно классифицировать и по сторонам, и по углам.