Раздел IV. Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — множество точек на плоскости. На чертеже фигуры изображают точками и линиями, а для сравнения и рассуждений называют их буквами или словами: например, точка A, прямая AB. Такое обозначение помогает точно указать, о какой части чертежа идёт речь.

Точка — отметка, показывающая место, но не имеющая длины или ширины; её обозначают заглавной латинской буквой. Прямая бесконечна в обе стороны, луч начинается в точке и продолжается в одну сторону, а отрезок имеет два конца. Прямую можно задать двумя точками, луч называют по началу и ещё одной точке, а отрезок — по двум концам.

Угол — фигура из двух лучей с общей вершиной. В записи ∠ABC вершина B стоит в середине, а стороны угла — лучи BA и BC; величину угла измеряют в градусах транспортиром. Это позволяет описывать, насколько широко раскрыты стороны угла.

Многоугольник — замкнутая фигура из отрезков; треугольник — многоугольник с тремя сторонами. Прямоугольник имеет четыре прямых угла, а квадрат — прямоугольник с четырьмя равными сторонами. Значит, квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника, но не каждый прямоугольник является квадратом.

Как это устроено

Точка служит основным элементом геометрических фигур, потому что с её помощью можно указать точное место на плоскости. Когда точки выстраиваются в одном направлении, мы изображаем линию; две точки задают отрезок между ними. Так простые элементы становятся основой для построения более сложных фигур.

Прямая, луч и отрезок отличаются тем, где заканчиваются: прямая не заканчивается, луч имеет только начало, отрезок ограничен двумя концами. Это связано с тем, какую часть линии мы рассматриваем: всю линию, часть от выбранной точки в одном направлении или участок между двумя точками. Например, прямую AB можно продолжать за A и B, луч BC — за C, а отрезок AC заканчивается в A и C.

Угол возникает, когда два луча выходят из одной точки. Общая точка становится вершиной, а лучи — сторонами угла; поэтому раскрытие зависит от направления сторон. Чем дальше стороны расходятся друг от друга, тем больше угол, и это можно сравнить измерением в градусах.

Если отрезки соединить концами в замкнутую линию, получится многоугольник. Отрезки становятся его сторонами, а точки соединения — вершинами. Число сторон определяет название: у треугольника их три, у четырёхугольника — четыре; если линия не замкнута, многоугольника не получится.

Прямоугольник устроен так, что все его углы прямые, а противоположные стороны равны. Эти свойства помогают находить недостающие длины и проверять чертёж. Квадрат сохраняет все признаки прямоугольника и добавляет ещё один: все его стороны равны, поэтому он является частным случаем прямоугольника.

Основные геометрические фигуры и их признаки

Сначала найди в таблице название фигуры и её обозначение, а затем проверь признак по чертежу. Столбец о составе помогает понять, какие точки и линии нужно отметить. Последний столбец подсказывает, какие величины можно искать в задаче.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечены точки A, B и C. Провести через точки A и B прямую, луч с началом в B, проходящий через C, и отрезок AC. Записать их обозначения.

1. Прямая проходит через A и B и продолжается в обе стороны, поэтому обозначаем её прямой AB.

2. У луча начало в B, а точка C задаёт направление. Записываем луч BC: первая буква показывает начало.

3. Отрезок соединяет A и C и имеет два конца. Его обозначение — отрезок AC.

Ответ: прямая AB, луч BC, отрезок AC.

Задача 2. Прямоугольник имеет длину 8 см и ширину 5 см. Найти его периметр и сравнить его со стороной квадрата с таким же периметром.

1. У прямоугольника две стороны по 8 см и две по 5 см. Периметр — сумма всех внешних сторон: 8 + 5 + 8 + 5 = 26 см.

2. У квадрата с таким же периметром четыре равные стороны. Чтобы найти одну сторону, делим периметр на 4: 26 ÷ 4 = 6,5 см.

3. Сравниваем 6,5 см с длиной прямоугольника 8 см и шириной 5 см. Сторона квадрата больше ширины, но меньше длины прямоугольника.

Ответ: периметр прямоугольника — 26 см, сторона квадрата — 6,5 см.

Задача 3. В треугольнике ABC проведён отрезок из вершины A к стороне BC. Пусть его конец — точка D, длины сторон AB, AC, BD, DC и AD равны 5 см, 4 см, 3 см, 2 см и 4 см. Сколько треугольников получилось и какова сумма их периметров?

1. Отрезок AD делит исходный треугольник на два: ABD и ACD. Значит, внутри чертежа три отрезка образуют каждый из двух новых треугольников.

2. Находим периметр ABD: AB + BD + AD = 5 + 3 + 4 = 12 см. Периметр ACD: AC + CD + AD = 4 + 2 + 4 = 10 см.

3. Складываем: 12 + 10 = 22 см. Отрезок AD входит в периметр каждого малого треугольника, поэтому внутренний отрезок учтён дважды.

Ответ: получилось 2 треугольника, сумма их периметров — 22 см.

Типичные ошибки

Луч называют отрезком или прямую — лучом, если смотрят только на рисунок и не проверяют концы. Прямая продолжается в обе стороны, у луча есть начало, а у отрезка — два конца. Проверь себя: можно ли продолжить изображение за отмеченные точки и какие из них являются концами?

Угол иногда записывают одной буквой или ставят обозначение вершины не в середине, потому что забывают, что угол задают два луча. Без правильной записи можно перепутать углы с общей вершиной. Назови по порядку одну сторону, вершину и другую сторону: в ∠ABC вершина — B.

Квадрат могут считать совершенно отдельной от прямоугольника фигурой, потому что у квадрата все стороны равны. Но он также имеет четыре прямых угла и потому подходит под определение прямоугольника. Проверь, выполняются ли свойства прямоугольника; квадрату дополнительно нужно равенство всех сторон.

При нахождении периметра иногда пропускают сторону или складывают числа с разными единицами, например сантиметры и миллиметры. Это происходит, когда считают по рисунку, не обходя всю границу, или записывают измерения без единиц. Перечисли все внешние стороны по порядку и переведи длины в одну единицу до сложения.

Связь с другими темами

Для работы с фигурами нужны представления о точке, длине и единицах измерения, а также умение пользоваться линейкой и транспортиром. Дальше эти знания пригодятся при изучении периметра и площади, координатной плоскости, симметрии и построения фигур. Обозначения и свойства геометрических фигур помогают разбирать чертежи и решать текстовые и практические задачи.

Что запомнить

• Точка обозначается заглавной латинской буквой.

• Прямая не имеет концов, луч имеет один конец, отрезок — два.

• Угол состоит из двух лучей с общей вершиной.

• Многоугольник образован замкнутой ломаной.

• Треугольник имеет три стороны и три вершины.

• Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны.

• Периметр фигуры равен сумме длин всех её сторон.