7.1. Треугольники и их виды

Определения и обозначения

Треугольник — это многоугольник, у которого три стороны. Его стороны — отрезки, соединённые концами, а точки соединения называются вершинами. Определение помогает отличить треугольник от других фигур: у него обязательно ровно три стороны и три вершины.

Углы треугольника образованы его сторонами у каждой вершины. Треугольник часто обозначают буквами его вершин, например △ABC; тогда его стороны — AB, BC и CA, а углы находятся при вершинах A, B и C. Такая запись нужна, чтобы коротко и точно указывать, о какой фигуре, стороне или угле идёт речь.

Периметр треугольника — сумма длин всех его сторон. Если стороны имеют длины a, b и c, то P = a + b + c. Периметр позволяет узнать общую длину границы фигуры, например сколько ленты понадобится, чтобы обвести её по краю.

Как это устроено

Треугольник получается, когда три отрезка соединяют так, чтобы каждый конец встретился с концом другого отрезка. Поэтому у фигуры замыкается граница, а внутри образуется область. Если отрезки не соединены или один из них продолжен за вершину, перед нами уже не один замкнутый треугольник.

У треугольника три угла, и вместе они составляют 180°. Это свойство объясняется тем, что углы можно мысленно расположить рядом на одной прямой: они заполнят развёрнутый угол, равный 180°. Поэтому, зная два угла, третий можно найти вычитанием их суммы из 180°.

По длинам сторон различают три вида треугольников. Если все три стороны одинаковы, треугольник равносторонний; если равны две стороны — равнобедренный; если все длины разные — разносторонний. Это деление удобно, потому что длины сторон можно сравнить линейкой или по условию задачи.

Треугольники также различают по углам. Остроугольный треугольник имеет три угла меньше 90°, прямоугольный — один угол ровно 90°, а тупоугольный — один угол больше 90°. Двух прямых или тупых углов быть не может: их сумма уже составила бы не меньше 180°, и на третий угол места не осталось бы.

Два способа классификации не мешают друг другу: один и тот же треугольник одновременно имеет вид по сторонам и вид по углам. Например, у него могут быть две равные стороны и прямой угол. Чтобы назвать его полностью, нужно отдельно сравнить стороны и определить величины углов.

Виды треугольников

Сначала выбери признак, по которому нужно определить вид: длины сторон или величины углов. Затем сравни стороны либо измерь углы и найди подходящую строку таблицы. Если требуется полное описание, назови оба вида.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике ABC угол A равен 50°, а угол B — 60°. Определи величину угла C и вид треугольника по углам. Чтобы решить задачу, используем сумму углов треугольника, равную 180°.

1. Запишем известные углы: ∠A = 50°, ∠B = 60°. Их сумма равна 50° + 60° = 110°.
2. Вычтем эту сумму из 180°: ∠C = 180° − 110° = 70°. Так мы находим угол, который вместе с двумя известными завершает сумму углов треугольника.
3. Сравним углы 50°, 60° и 70° с прямым углом 90°. Все они меньше 90°, значит, треугольник остроугольный.

Ответ: ∠C = 70°, треугольник остроугольный. Проверка: 50° + 60° + 70° = 180°.

Задача 2. Стороны треугольника имеют длины 5 см, 5 см и 8 см. Найди его периметр и определи вид по сторонам. Сначала используем длины для вычисления периметра, затем сравним их, чтобы назвать вид треугольника.

1. Периметр — это сумма всех сторон: P = 5 см + 5 см + 8 см.
2. Выполним сложение: P = 18 см. Полученная величина показывает общую длину границы треугольника.
3. Сравним стороны: две стороны равны 5 см, а третья равна 8 см. По определению такой треугольник равнобедренный.

Ответ: периметр равен 18 см, треугольник равнобедренный. В этой задаче классификация по сторонам не сообщает величины углов: для определения вида по углам нужны сами углы или дополнительные сведения.

Типичные ошибки

• Можно назвать треугольник прямоугольным, увидев угол, который на рисунке кажется почти прямым. Такое впечатление обманчиво, потому что чертёж не всегда выполнен точно. Проверь значение угла по условию или транспортиром: прямой угол равен ровно 90°.

• Иногда «равнобедренным» называют треугольник только с двумя сторонами, которые не равны друг другу. Ошибка возникает из-за смешения слова «две» с выражением «две равные стороны». Сравни все три длины: у равнобедренного равны две стороны, у разностороннего — ни одна пара не равна.

• При поиске третьего угла могут сложить известные углы и забыть выполнить вычитание из 180°. Это происходит, если не вспомнить, что сумма трёх углов должна составить 180°. После вычисления сложи все три угла: ответ верен, если результат равен 180°.

• Можно решить, что треугольник бывает только одного вида, например только равнобедренным. Так считают, потому что смешивают два разных признака классификации. Проверяй стороны и углы отдельно: один треугольник может получить по одному названию в каждой группе.

Связь с другими темами

Знание видов треугольников опирается на умение измерять отрезки и углы, сравнивать числа и выполнять сложение с вычитанием. Периметр связывает геометрию с задачами на длину границы фигуры. Сумма углов помогает находить неизвестный угол, а различение видов по сторонам и углам пригодится при изучении чертежей и других многоугольников.

Что запомнить

• У треугольника три стороны, три вершины и три угла.
• Сумма трёх углов треугольника равна 180°.
• По сторонам треугольники бывают равносторонними, равнобедренными и разносторонними.
• По углам треугольники бывают остроугольными, прямоугольными и тупоугольными.
• Периметр находят сложением длин всех сторон: P = a + b + c.
• Виды по сторонам и по углам определяют независимо друг от друга.