7.2. Прямоугольники

Определения и обозначения

Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые. Прямой угол похож на угол листа бумаги или угольника и равен 90°. Чтобы распознать прямоугольник, проверьте каждый из четырёх углов, а не только внешний вид фигуры.

Стороны прямоугольника — четыре отрезка, которые образуют его границу. Две стороны, имеющие общую вершину, называют соседними; их длины обычно обозначают буквами a и b. Одну из них называют длиной, а другую шириной, чтобы удобно было записывать размеры и считать периметр.

Противоположные стороны — стороны, которые не имеют общей вершины. В прямоугольнике верхняя сторона противоположна нижней, а левая — правой. Такие стороны равны попарно, поэтому для описания размеров достаточно знать длины двух соседних сторон.

Диагональ прямоугольника — отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. Диагонали проходят внутри фигуры и не являются частью её границы. У прямоугольника две диагонали: каждая соединяет свою пару противоположных вершин.

Как это устроено

Сумма углов любого четырёхугольника равна 360°. Но одного прямого угла в произвольном четырёхугольнике недостаточно: остальные углы могут быть разными. Если фигура уже является параллелограммом, то соседние углы в ней в сумме дают 180°, а противоположные равны, поэтому один угол 90° заставляет все четыре угла стать прямыми.

Противоположные стороны прямоугольника равны, потому что проведённая диагональ разделяет его на два треугольника. У этих треугольников общая диагональ, а соответствующие углы и стороны расположены одинаково, поэтому треугольники равны. Из равенства треугольников следуют равенства верхней и нижней сторон, а также левой и правой.

Прямоугольник обозначают буквами его вершин, записанными по порядку, например ABCD. Тогда AB и CD — противоположные стороны, а AB и BC — соседние. Длиной и шириной можно назвать любую пару соседних сторон, поэтому если a = 8 см и b = 3 см, то при другом выборе обозначений длина может стать 3 см, а ширина — 8 см.

Периметр — это длина всей границы фигуры, поэтому нужно сложить все четыре стороны. Если соседние стороны равны a и b, то противоположные имеют такие же длины: P = a + b + a + b. Объединив одинаковые слагаемые, получаем формулу P = 2(a + b), которая сокращает вычисления.

Каждая диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника, потому что противоположные стороны равны, а диагональ у них общая. Две диагонали прямоугольника равны между собой и пересекаются в одной точке. Эта точка делит каждую диагональ пополам, поэтому при построении можно измерить четыре равных отрезка от центра до вершин.

Основные свойства прямоугольника

Таблица помогает быстро найти нужное свойство по названию элемента. При решении задачи сначала определите, что дано: угол, сторона, диагональ или периметр, а затем выберите соответствующее правило.

Буквы a и b обозначают именно соседние стороны, а не обязательно строго длину и ширину в привычном порядке. Их можно поменять местами, потому что сумма a + b от этого не изменится.

Разбор задач

Задача 1. Построение прямоугольника

Начертить четырёхугольник с четырьмя прямыми углами и обозначить его вершины. Здесь важно не просто нарисовать похожую фигуру, а проверить условие определения. Для обозначения выберем вершины A, B, C, D по порядку.

1. Проведите отрезок AB, например горизонтально.
2. В точках A и B постройте перпендикулярные отрезки AD и BC одинаковой длины.
3. Соедините вершины D и C отрезком DC.
4. Проверьте угольником углы A, B, C и D: каждый должен быть прямым.

Ответ: получен прямоугольник ABCD, если все четыре проверенных угла прямые.

Задача 2. Периметр по двум сторонам

Стороны прямоугольника равны 8 см и 3 см. Нужно найти периметр, то есть длину всей границы. Противоположные стороны тоже равны 8 см и 3 см, поэтому можно воспользоваться формулой.

1. Обозначьте соседние стороны: a = 8 см, b = 3 см.
2. Сложите их: a + b = 8 + 3 = 11 см.
3. Умножьте сумму на 2: P = 2 · 11 = 22 см.

Ответ: периметр прямоугольника равен 22 см.

Задача 3. Неизвестная сторона

Периметр прямоугольника равен 30 см, одна сторона равна 9 см. Чтобы найти соседнюю сторону, сначала узнаем сумму двух соседних сторон: в периметре эта сумма встречается два раза. Затем из найденной суммы вычтем известную сторону.

1. Половина периметра равна сумме соседних сторон: P : 2 = 30 : 2 = 15 см.
2. Пусть неизвестная сторона равна b. Тогда 9 + b = 15.
3. Найдите b: b = 15 − 9 = 6 см.
4. Проверьте результат: 2 · (9 + 6) = 30 см.

Ответ: длина соседней стороны равна 6 см.

Типичные ошибки

Ошибка: называть прямоугольником любой четырёхугольник с одной парой прямых углов. Так бывает, когда фигуру узнают только по внешнему виду или проверяют не все углы. Проверьте четыре угла угольником; исключение — параллелограмм, для которого одного прямого угла достаточно.

Ошибка: считать, что у прямоугольника все стороны одинаковые. Путают прямоугольник с квадратом, потому что обе фигуры имеют прямые углы. Сравните соседние стороны: у прямоугольника равны только противоположные, а у квадрата — все четыре.

Ошибка: в формуле периметра складывать только длину и ширину. Это даёт половину периметра, потому что каждая из этих сторон встречается дважды. Проверьте запись P = 2(a + b) или сложите все четыре стороны отдельно.

Ошибка: принимать диагональ за сторону. Диагональ соединяет противоположные вершины и проходит внутри фигуры, а сторона соединяет соседние вершины и образует границу. Если отрезок не лежит на внешней границе, это не сторона прямоугольника.

Связь с другими темами

Для изучения прямоугольника нужны понятия четырёхугольника, вершины, стороны и прямого угла. Если эти слова уже знакомы, достаточно научиться проверять углы и находить пары противоположных сторон. Периметр связывает геометрию с вычислениями и единицами длины.

Квадрат можно рассматривать как частный случай прямоугольника: у него тоже четыре прямых угла, но все стороны равны. Свойства прямоугольника пригодятся при вычислении размеров окон, комнат, обложек и других прямоугольных предметов.

Что запомнить

• Прямоугольник — четырёхугольник с четырьмя прямыми углами.
• Противоположные стороны прямоугольника равны.
• Соседние стороны прямоугольника называют его длиной и шириной.
• Диагональ соединяет противоположные вершины.
• Периметр прямоугольника равен P = 2(a + b).
• Квадрат — частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны.