26. Прямоугольники

Определения и обозначения

Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые. Прямой угол похож на угол листа бумаги и равен 90°. Чтобы распознать прямоугольник по углам, проверь все четыре угла: если каждый из них прямой, фигура подходит под определение. Одной пары прямых углов для этого недостаточно.

Противоположные стороны прямоугольника — стороны, у которых нет общей вершины. Если обозначить его вершины по порядку A, B, C, D, то противоположные пары — AB и CD, а также BC и AD. Стороны AB и BC, например, соседние: они соединяются в точке B. Такое название помогает не перепутать, какие стороны равны и какие длины брать для вычисления периметра.

Диагональ прямоугольника — отрезок, который соединяет две противоположные вершины. В прямоугольнике ABCD можно провести диагонали AC и BD. Диагональ проходит внутри фигуры и делит её на два треугольника. Это определение полезно, когда нужно рассмотреть части прямоугольника или сравнить его стороны и диагонали.

Как это устроено

Сумма углов любого четырёхугольника равна 360°, потому что его можно разделить диагональю на два треугольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, значит, вместе получится 180° + 180° = 360°. У прямоугольника все четыре угла одинаково прямые и каждый равен 90°. Проверка даёт 4 · 90° = 360°, как и должно быть.

Проведём диагональ AC прямоугольника ABCD. Она образует треугольники ABC и CDA, а стороны AB и CD параллельны, как и BC и AD: каждая пара перпендикулярна одной и той же стороне. Поэтому углы между диагональю и парами параллельных сторон равны; сама диагональ у треугольников общая. Получаются равные треугольники, а значит, соответствующие стороны AB и CD, BC и AD равны. Так можно обосновать равенство противоположных сторон.

Диагонали AC и BD тоже равны. Сравним треугольники ABC и BAD: сторона AB у них общая, стороны BC и AD равны по свойству прямоугольника, а углы между этими сторонами прямые. Поэтому треугольники равны, и их третьи стороны AC и BD тоже равны. Значит, диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину.

Пусть соседние стороны прямоугольника имеют длины a и b. Периметр — это сумма длин всех сторон, поэтому P = a + b + a + b. В этой сумме два раза встречается длина a и два раза — длина b. Можно сгруппировать равные слагаемые и получить формулу P = 2(a + b).

Квадрат — частный случай прямоугольника, потому что у квадрата тоже все четыре угла прямые. Но у квадрата есть дополнительное свойство: все стороны равны, поэтому его соседние стороны тоже одинаковой длины. У прямоугольника с разными соседними сторонами равны только противоположные стороны. Следовательно, каждый квадрат является прямоугольником, но не каждый прямоугольник является квадратом.

Свойства прямоугольника и квадрата

В таблице сравниваются свойства прямоугольника и квадрата: «не обязательно» означает, что у прямоугольника стороны могут различаться. Чтобы проверить, подходит ли фигура под описание, сначала посмотри на её углы, а затем на длины сторон. Для квадрата в формуле периметра a — длина любой его стороны.

Разбор задач

Задача 1

У прямоугольника одна сторона равна 7 см, соседняя — 3 см. Нужно найти периметр. Соседние стороны задают длины двух разных пар сторон: противоположные им стороны такие же. Поэтому каждую из двух известных длин в периметре нужно учесть дважды.

1. Запишем формулу периметра: P = 2(a + b).
2. Подставим длины соседних сторон: P = 2 · (7 + 3) = 2 · 10.
3. Выполним умножение: P = 20 см.

Ответ: 20 см. Можно проверить результат, сложив стороны по одной: 7 + 3 + 7 + 3 = 20 см. Обе записи дают один и тот же периметр.

Задача 2

Периметр прямоугольника равен 26 см, одна сторона — 5 см. Найдём соседнюю сторону. В периметре длина одной пары противоположных сторон учитывается дважды, поэтому сначала разделим весь периметр на 2. Полученное число будет суммой длин двух соседних сторон.

1. Найдём сумму соседних сторон: 26 : 2 = 13 см.
2. Из этой суммы вычтем известную сторону: 13 − 5 = 8 см.
3. Проверим: 2 · (5 + 8) = 2 · 13 = 26 см.

Ответ: соседняя сторона равна 8 см. Проверка показывает, что с этой длиной получается заданный периметр. Вычитать известную сторону нужно именно из половины периметра, а не из всего периметра.

Задача 3

Прямоугольник со сторонами 8 см и 5 см разделили диагональю длиной 9 см на два треугольника. Нужно найти периметр каждого треугольника. Периметр треугольника — сумма длин всех его сторон. Диагональ входит в каждый из двух треугольников как одна из сторон.

1. Одна часть состоит из сторон 8 см, 5 см и 9 см.
2. Сложим длины её сторон: 8 + 5 + 9 = 22 см.
3. Вторая часть тоже имеет стороны 8 см, 5 см и диагональ 9 см, поэтому её периметр: 8 + 5 + 9 = 22 см.

Ответ: периметр каждого треугольника равен 22 см. Диагональ общая для обеих частей, а оставшиеся стороны имеют длины 8 см и 5 см. Поэтому вычисления для треугольников совпадают.

Типичные ошибки

• Ошибка — назвать прямоугольником четырёхугольник только с одной парой прямых углов. Так думают, потому что проверяют не все углы фигуры. По определению прямыми должны быть все четыре; пересчитай углы и проверь каждый.

• Ошибка — перепутать противоположные стороны с соседними и считать равными соседние. Стороны, соединённые общей вершиной, являются соседними, а равны у прямоугольника противоположные. Обозначь вершины по порядку и найди стороны без общей вершины.

• Ошибка — сложить только две соседние стороны и записать это как периметр. Так происходит, если забыть, что у фигуры есть ещё две стороны. Сверь запись с обходом всех четырёх сторон или используй P = 2(a + b).

• Ошибка — считать, что у любого прямоугольника все стороны равны. Это свойство квадрата, а не каждого прямоугольника. Проверь, требуется ли равенство всех сторон: у обычного прямоугольника равны противоположные, а соседние могут различаться.

Связь с другими темами

Чтобы изучать прямоугольники, нужно знать, что такое четырёхугольник, его вершина и сторона, а также прямой угол. Эти понятия помогают распознать фигуру и правильно называть её части. Периметр прямоугольника находится сложением длин сторон — этот навык встречается и при работе с другими фигурами.

Свойства прямоугольника пригодятся при изучении площади фигур и решении геометрических задач. Например, равенство противоположных сторон помогает найти неизвестную длину, а формула периметра связывает длины соседних сторон с длиной границы фигуры. Диагональ позволяет разделить прямоугольник на треугольники и рассматривать их отдельно.

Что запомнить

• У прямоугольника все четыре угла прямые.
• Противоположные стороны прямоугольника равны.
• Диагонали прямоугольника равны.
• Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин соседних сторон: P = 2(a + b).
• Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны.