27. Равенство фигур

Определения и обозначения

Равные фигуры — фигуры, которые можно совместить наложением так, чтобы они полностью совпали. Иначе говоря, у них одинаковые форма и размеры, хотя на чертеже они могут выглядеть по-разному из-за положения. Это понятие помогает точно сравнивать фигуры, а не полагаться только на впечатление от рисунка.

Наложение — мысленное перемещение одной фигуры на плоскости без изменения её формы и размеров. Представьте, что фигуру можно передвинуть, повернуть или перевернуть, не растягивая и не сжимая её. Такой способ нужен, чтобы проверить, действительно ли две фигуры совпадают.

Соответствующие точки — точки двух равных фигур, которые совпадают при наложении. Например, если одна вершина попала точно на другую, эти вершины соответствуют друг другу. Это помогает понять, какие части фигур сравнивают между собой, особенно если фигуры повёрнуты.

Равные отрезки — отрезки, которые при наложении совпадают. При этом должны совпасть не только их части, но и оба конца. Сравнение отрезков — простой пример того, как проверяют равенство геометрических фигур.

Как это устроено

Совпадение при наложении служит признаком равенства, потому что перемещение не изменяет фигуру. Когда мы передвигаем, поворачиваем или переворачиваем её, длины сторон и расстояния между точками остаются прежними. Поэтому если после такого перемещения фигуры совпали целиком, у них одна и та же форма и размер. Если же для совпадения пришлось бы растянуть или сжать фигуру, это уже не наложение.

Чтобы проверить равенство, выберите одну фигуру и мысленно переместите её к другой. Сначала можно совместить заметную точку, например вершину, а затем проверить остальные части. Проследите, чтобы ни одна точка первой фигуры не оказалась за границами второй и чтобы во второй не осталось непокрытых частей. Только полное совпадение позволяет сделать вывод о равенстве.

Равные фигуры могут быть расположены по-разному, потому что положение не является частью самой формы. Одну фигуру можно передвинуть в сторону, повернуть или перевернуть, сохраняя все расстояния между её точками. Поэтому повёрнутый треугольник не становится другим по размеру или форме. При сравнении мысленно изменяют только положение фигуры, а не её очертания.

Когда части фигур совпадают при наложении, они относятся друг к другу. Так устанавливают соответствие точек, отрезков и других частей: совпавшие вершины соответствуют друг другу, как и совпавшие стороны. Это удобно, когда фигуры расположены по-разному и похожие части не сразу заметны. Нужно проследить, куда попала каждая точка и какая часть с какой совместилась.

Совпадение только части фигур не означает, что равны фигуры целиком. Например, у двух разных многоугольников может совпасть одна сторона, но остальные стороны будут иметь другую длину или располагаться иначе. Поэтому проверка одной части даёт сведения только об этой части. Для вывода о равенстве нужно совместить фигуры полностью и убедиться, что совпали все их точки.

Как распознать равные фигуры

Сначала определите, что именно сравниваете: одну часть или фигуру целиком. Затем мысленно совместите фигуры и проверьте совпадение нужных точек и частей. Для вывода о равенстве фигур всегда проверяйте совпадение всей фигуры.

Разбор задач

Задача 1. Даны два отрезка. Определи, равны ли они, если один можно наложить на другой так, что их концы совпадут. Здесь важно проверить не только концы, но и весь отрезок между ними. Если он полностью лежит на втором отрезке, дополнительного совпадения ждать не нужно.

1. Мысленно переместим первый отрезок к другому, не растягивая и не сжимая его.
2. Совместим один конец с соответствующим концом второго отрезка.
3. Проверим второй конец и промежуточные точки: весь отрезок должен совпасть со вторым.

Ответ: отрезки равны, если при таком наложении совпали оба конца и весь отрезок.

Задача 2. Даны два треугольника, один из которых повёрнут. Определи, равны ли они, если при наложении совпадают все вершины и стороны. Поворот может мешать сразу узнать треугольник, но не меняет его размеров. Поэтому решать задачу нужно по совпадению фигур целиком, а не по их направлению на рисунке.

1. Переместим повёрнутый треугольник, при необходимости изменяя его положение поворотом.
2. Проверим, попала ли каждая вершина на соответствующую вершину второго треугольника.
3. Убедимся, что вместе с вершинами совпали все стороны и всё пространство внутри треугольников.

Ответ: треугольники равны, так как при наложении совпадают все вершины и стороны.

Задача 3. Даны две фигуры сложной формы. Одна частично закрыта листом. Видимые части совпадают. Можно ли утверждать, что фигуры равны? Совпадение открытых участков ещё ничего не говорит о скрытых частях: за листом очертания могут продолжаться по-разному. Значит, пока проверить полное наложение нельзя.

1. Сравним видимые части и отметим, что они совпадают.
2. Проверим, видны ли все границы обеих фигур; в условии одна фигура закрыта не полностью.
3. Не будем делать вывод о равенстве, пока неизвестно, совпадают ли закрытые участки и остальные точки фигур.

Ответ: утверждать, что фигуры равны, нельзя. Для этого нужно проверить совпадение фигур целиком.

Типичные ошибки

Ошибка: считать фигуры неравными из-за разного положения. Так думают, когда сравнивают рисунки только по их направлению на листе. Но фигуру можно переместить, повернуть или перевернуть без изменения формы и размеров. Проверьте себя: мысленно измените её положение и посмотрите, получится ли полное совпадение.

Ошибка: считать фигуры равными по одной совпавшей стороне или части. Одна общая сторона не показывает, совпадают ли остальные части. Эту ошибку легко допустить, если сравнивать лишь самые заметные участки. Проверьте все точки и границы: совпасть должны фигуры целиком.

Ошибка: связывать равенство с цветом или обозначением. Одинаковый цвет не гарантирует одинаковых размеров, а разный цвет не мешает фигурам быть равными. Иногда внимание отвлекают раскраска или буквы, которыми обозначены точки. Проверьте себя, сравнив только форму и размеры при наложении.

Ошибка: сравнивать фигуры только на глаз. Из-за положения или рисунка фигуры могут казаться одинаковыми либо разными, хотя зрительная оценка неточна. Особенно трудно так сравнивать близкие по размеру или сложные очертания. Проверьте предположение мысленным наложением и убедитесь, что совпали все части.

Связь с другими темами

Для сравнения фигур нужно знать, что такое геометрическая фигура, отрезок и угол, а также уметь представлять их наложение. Эти понятия помогают проверять совпадение отдельных частей и целых очертаний. Равенство фигур понадобится дальше при изучении равенства треугольников: там важно устанавливать соответствие их вершин и сторон. Оно также помогает разбираться в свойствах геометрических фигур.

Что запомнить

• Равные фигуры полностью совпадают при наложении.
• Фигуры могут быть равными, даже если они по-разному расположены.
• Перемещение, поворот и переворот не меняют форму и размеры фигуры.
• При проверке нужно учитывать фигуру целиком.
• Совпадающие при наложении точки и части фигур являются соответствующими.