"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Равными называют фигуры, которые можно совместить так, чтобы они полностью совпали. Для этого одну фигуру мысленно или практически переносят, поворачивают либо переворачивают, не меняя её форму и размеры. Такое сравнение помогает определить, одинаковы ли фигуры, и найти соответствующие точки, стороны и углы. Одна лишь одинаковая площадь или длина границы не доказывает равенство: совпасть должна вся фигура.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равные фигуры — фигуры, которые при наложении полностью совпадают. Значит, их можно совместить так, чтобы ни одна часть одной фигуры не выступала за другую. Это определение помогает решить, одинаковы ли фигуры, даже если на рисунке они повернуты или расположены в разных местах.
Наложение — мысленное или практическое совмещение одной фигуры с другой без изменения её размера и формы. Можно вырезать фигуру из бумаги и положить на вторую или просто представить такое действие. Наложение нужно, чтобы проверить совпадение, не растягивая и не сжимая фигуры.
Соответствующие элементы — точки, стороны и углы двух фигур, совпадающие при наложении. Например, если вершина одной фигуры оказалась точно над вершиной другой, эти вершины соответствуют друг другу. Это понятие нужно, чтобы не перепутать, какие именно стороны и углы сравнивать.
Равенство фигур — отношение, при котором у фигур совпадают все соответствующие элементы. Речь идёт не об одной стороне или одном угле, а обо всей фигуре. Понятие помогает отличить полное совпадение от сходства или совпадения отдельных частей.
Наложение позволяет установить равенство, потому что при совмещении проверяется сразу вся фигура. Если границы совпали, то совпали и все точки внутри них, а также форма и размеры. Если же где-то одна фигура выступает или не закрывает часть другой, полного совпадения нет, даже когда некоторые стороны одинаковы.
Чтобы найти соответствующие элементы, выбери положение, в котором фигуры совмещаются, и проследи, какие части легли друг на друга. Совпавшие вершины соответствуют друг другу, а соединяющие их стороны и углы тоже оказываются соответствующими. Это особенно полезно, когда фигуры повернуты: верхняя сторона одной фигуры может соответствовать боковой стороне другой.
Равные фигуры могут выглядеть по-разному, потому что их положение на плоскости не меняет саму фигуру. Перенос только меняет место, поворот меняет направление, а переворот меняет ориентацию. Ни одно из этих действий не растягивает и не сжимает фигуру, поэтому после нужного движения равные фигуры можно совместить.
Равенство фигур не следует путать с равенством площадей или периметров. Площадь показывает, сколько места занимает фигура, а периметр — длину её границы; одинаковые значения не сообщают, одинаков ли контур. Например, прямоугольник и другой многоугольник могут занимать одинаковую площадь, но иметь разную форму и не совпасть при наложении.
По рисунку можно сначала сравнить форму и расположение частей, а затем проверить длины сторон и величины углов. Если доступно измерение, линейкой сравнивают отрезки, а углы — подходящим измерительным инструментом или совмещением. Но совпадение лишь нескольких измерений не всегда доказывает равенство всей фигуры, поэтому при возможности проверяют полное наложение.
| Объекты | Условие равенства | Как проверить |
|---|---|---|
| Отрезки | Имеют одинаковую длину | Сравнить длины измерением или наложением |
| Углы | Имеют одинаковую величину | Совместить вершины и стороны или сравнить их величины |
| Фигуры | Полностью совпадают при наложении | Совместить фигуры и проверить совпадение соответствующих элементов |
Сначала найди в таблице нужный объект, затем прочитай условие равенства. Последний столбец подсказывает способ проверки: для отрезка сравнивают длины, для угла — величины, а для фигуры проверяют полное совпадение. Не переноси условие для одного объекта на другой: например, одинаковая длина одной стороны ещё не означает равенства фигур.
Даны два отрезка длиной 6 см и 6 см. Нужно определить, являются ли они равными. Для отрезков равенство устанавливают по длине, поэтому сравним указанные значения, не обращая внимания на то, как отрезки расположены на рисунке.
Ответ: отрезки равны. Их положение на плоскости не меняет длину, поэтому даже нарисованные в разных направлениях отрезки остаются равными, если длины совпадают.
На рисунке изображены два треугольника, один из которых повернут. Нужно объяснить, равны ли они. Сам поворот не меняет длины сторон и величины углов, поэтому по одному только разному положению нельзя решить, что треугольники не равны.
Ответ: треугольники равны, если повёрнутый треугольник можно полностью совместить со вторым. По условию сказано только, что один треугольник повернут, поэтому для окончательного вывода нужно проверить совпадение при наложении.
Прямоугольник имеет стороны 3 см и 5 см, а рядом изображён параллелограмм с такой же площадью. Спрашивается, можно ли утверждать, что фигуры равны. Одинаковая площадь означает только одинаковое количество места внутри фигуры, но не гарантирует одинаковые очертания.
Ответ: только по одинаковой площади утверждать равенство нельзя. Чтобы решить наверняка, нужно проверить совпадение формы и размеров при наложении; если фигуры не совпали, они не равны.
Ошибка: считать фигуры равными только из-за одинаковой площади. Так думают, потому что площадь — одно число, которое удобно сравнить, но оно не описывает форму границы. Для проверки представь наложение: если контуры не совпали, равенства нет.
Ошибка: считать, что равные фигуры обязательно должны одинаково лежать на рисунке. Их вид может отличаться из-за поворота, переноса или переворота, которые не меняют форму и размеры. Проверь себя: попробуй мысленно изменить положение фигуры, не растягивая её.
Ошибка: сравнить одну сторону или один угол и сделать вывод о равенстве всей фигуры. Такой вывод поспешен, потому что другие части могут иметь иные размеры или расположение. Проверь соответствующие элементы и, если возможно, наложи фигуры целиком.
Ошибка: неправильно сопоставить элементы из-за их расположения или направления обхода фигуры. Например, сторона, которая кажется верхней на одном рисунке, после поворота может соответствовать боковой стороне другого. Начни с совпадающих вершин, затем проследи за сторонами и углами между ними — так пары элементов легче определить верно.
Для работы с равенством фигур нужны знания о точке, отрезке, угле и многоугольнике, а также умение измерять длины и величины углов. Позже это понятие поможет изучать свойства треугольников, выполнять геометрические построения и доказывать равенство элементов фигур. Оно пригодится и при сравнении площадей и периметров составных фигур: такие фигуры часто разбивают на равные части и рассматривают их отдельно.
Могут ли равные фигуры выглядеть по-разному на рисунке?
Да. Фигуру можно перенести, повернуть или перевернуть, и её форма с размерами не изменятся. Если после такого движения фигуры полностью совпадают, они равны.
Достаточно ли одинаковой площади, чтобы считать фигуры равными?
Нет, одинаковая площадь сама по себе не доказывает равенство. Например, фигуры могут иметь одинаковую площадь, но разную форму, поэтому при наложении не совпадут.
Как определить, какие элементы фигур являются соответствующими?
Мысленно совмести фигуры и посмотри, какие точки, стороны и углы окажутся друг на друге. Такие элементы называют соответствующими. При проверке учитывай порядок их расположения, а не только названия.
Можно ли проверить равенство фигур только измерениями?
Измерения помогают сравнить длины сторон и величины углов. Но не всегда проверки нескольких элементов достаточно, чтобы доказать совпадение всей фигуры. Самый наглядный способ — наложить фигуры и проверить, совпадают ли они полностью.
Чем равные фигуры отличаются от похожих фигур?
У похожих фигур может быть одна и та же форма, но разные размеры. Равные фигуры имеют и одинаковую форму, и одинаковые размеры, поэтому их можно совместить без растягивания или сжатия.
§ 3. Равенство фигур
