Равенство фигур

Определения и обозначения

Равные фигуры — фигуры, которые при наложении полностью совпадают. Иными словами, одну из них можно переместить так, чтобы она точно легла на другую, без пустых мест и выступающих частей. Это определение нужно, чтобы сравнивать фигуры не только на глаз, но и по строгому правилу.

Наложение фигур — мысленное или практическое перемещение одной фигуры на плоскости без изменения её формы и размеров. Например, фигуру можно сдвинуть или повернуть, но нельзя растянуть, согнуть либо разрезать. Такое действие помогает проверить, можно ли совместить фигуры.

Совпадение фигур — положение, в котором все точки одной фигуры совпадают с точками другой. Значит, должны совпасть и границы, и все части внутри этих границ. Это понятие нужно, чтобы не принять частичное сходство за равенство целых фигур.

Как это устроено

Равенство фигур определяют через наложение, потому что внешний вид на рисунке может обманывать. У двух фигур могут совпасть несколько сторон или вершин, но другие части окажутся разными. Только совпадение целиком показывает, что совпадают и форма, и размеры каждой части.

Чтобы проверить равенство, представьте, что вы вырезали одну фигуру из бумаги. Перемещайте её по плоскости и при необходимости поворачивайте, но не сгибайте, не растягивайте и не разрезайте. Если она закрывает вторую фигуру полностью и нигде не выступает за её границу, фигуры равны.

Расположение фигур на рисунке не влияет на их равенство, потому что положение можно изменить простым перемещением. Например, треугольник можно повернуть или передвинуть в сторону, не меняя его сторон и углов. Поэтому фигуры, нарисованные по-разному, всё равно могут быть равными.

Если после наложения хотя бы часть фигур не совпадает, равенства нет. Например, край одной фигуры может выступать за край другой или между ними может остаться незакрытая часть. Даже совпадение большинства точек не исправит это: для равенства требуется совпадение всей фигуры.

У равных фигур совпадают соответствующие стороны и углы. Соответствующими называют части, которые занимают одинаковое место в совпавших фигурах: например, вершины одного треугольника сопоставляют с вершинами другого. Сравнение частей помогает проверить наложение, но сами по себе отдельные совпавшие стороны или углы ещё не доказывают равенство фигур.

Как рассуждать о равенстве фигур

Пользуйтесь таблицей как подсказкой: сначала определите, что именно сравниваете, а затем выберите подходящую проверку. Отдельные стороны и углы позволяют сравнить части, но окончательный вывод о равенстве делают по всей фигуре. Одно лишь расположение на рисунке ничего не доказывает.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображены два одинаковых по форме и размерам треугольника, один из которых повёрнут. Определите, равны ли они.

1. Сначала не сравниваем, куда направлены вершины: поворот меняет только положение треугольника.
2. Мысленно поворачиваем один треугольник так, чтобы его стороны и вершины оказались напротив соответствующих частей второго.
3. По условию размеры и форма одинаковы, поэтому после поворота все стороны и границы совпадут.

Ответ: треугольники равны, потому что их можно совместить поворотом.

Задача 2. Даны два четырёхугольника. При наложении совпали три вершины, но четвёртые вершины не совпали. Равны ли четырёхугольники?

1. Совпадение трёх вершин показывает, что часть фигур оказалась на одном месте.
2. Проверяем четвёртую вершину и прилегающие к ней стороны. Они не совпали, значит, границы четырёхугольников различаются.
3. Для равенства должны совпасть все точки фигур, а не только несколько выбранных точек.

Ответ: четырёхугольники не равны, так как полного совпадения нет.

Задача 3. Даны два контура из клеток. Можно ли считать фигуры равными, если их можно вырезать и совместить, не разрезая и не растягивая?

1. Вырезанную фигуру можно передвигать и поворачивать, сохраняя её форму и размеры.
2. Пробуем наложить её на второй контур. Если все края совпали и ни одна часть не выступает, фигуры равны.
3. Сравнить только число клеток или площадь недостаточно: при одинаковой площади контуры могут иметь разную форму.

Ответ: фигуры равны, если после перемещения совпадают целиком; иначе равными их считать нельзя.

Типичные ошибки

• Считать фигуры равными только потому, что они похожи по форме. Так делают, когда не замечают разницу в размерах: один треугольник может быть больше другого. Проверьте, можно ли совместить их без растягивания; если края не совпадают, равенства нет.

• Считать фигуры неравными из-за разного положения на рисунке. Это ошибка, потому что фигуру можно сдвинуть или повернуть, не меняя её. Попробуйте мысленно выполнить такое перемещение и лишь затем сравнивайте фигуры.

• Проверять совпадение только нескольких сторон или вершин. Их совпадение не гарантирует, что остальные части расположены так же. Для самопроверки проследите всю границу фигуры и убедитесь, что ни одна её часть не выступает и не остаётся незакрытой.

• Считать равными любые фигуры одинаковой площади. Одинаковая площадь не означает одинаковую форму: контуры могут быть устроены по-разному. Не ограничивайтесь сравнением площади — проверьте, можно ли совместить фигуры целиком без разрезания и растягивания.

Связь с другими темами

Для изучения равенства фигур нужно уметь распознавать геометрические фигуры и сравнивать их стороны и углы. Эти знания помогают находить соответствующие части, но итоговую проверку всё равно проводят для фигуры целиком. Позже это понятие пригодится при изучении равенства треугольников: там тоже сравнивают соответствующие части и проверяют, совпадают ли фигуры. Оно помогает рассуждать и в других геометрических задачах.

Что запомнить

• Равные фигуры полностью совпадают при наложении.
• Перемещение и поворот не меняют форму и размеры фигуры.
• Совпадение только части фигур не доказывает их равенство.
• У равных фигур совпадают соответствующие части.
• Одинаковая площадь не означает, что фигуры равны.