7.3. Равенство фигур

Определения и обозначения

Равные фигуры — фигуры, которые при наложении полностью совпадают. Представь, что одну из них можно передвинуть на другую: если совпали все части, а не только несколько сторон, фигуры равны. Это определение помогает сравнивать фигуры независимо от того, где они нарисованы.

Наложение фигур — мысленное или выполненное перемещение одной фигуры без изменения её формы и размеров. Можно вырезать фигуру и положить поверх другой либо представить это перемещение. Так проверяют, возможно ли полное совпадение.

Соответствующие элементы — точки, отрезки и углы двух фигур, которые совпадают при наложении. Например, две вершины, оказавшиеся в одном месте, соответствуют друг другу. Это нужно, чтобы правильно сравнивать стороны и углы фигур.

Равные отрезки и углы — соответствующие отрезки и углы равных фигур, имеющие одинаковую длину или величину. Длина показывает, насколько протяжён отрезок, а величина угла — насколько он раскрыт. Эти понятия позволяют описывать, какие именно части фигур совпадают.

Как это устроено

Равенство фигур определяется не тем, как они расположены на листе, а тем, можно ли их совместить. Фигуры могут находиться в разных местах, потому что каждая нарисована отдельно. Если одну из них удаётся переместить так, что совпадают все её части, различие в расположении исчезает. Поэтому сравнивают не положение рисунков, а возможность полного наложения.

При наложении фигуру можно перемещать, поворачивать и переворачивать, но нельзя растягивать, сжимать или менять её форму. Перемещение, поворот и переворот сохраняют расстояния между точками и вид фигуры. Растяжение или сжатие изменило бы размеры, поэтому получившаяся фигура уже не совпадала бы с исходной. Например, нельзя сделать короткую сторону длиннее, чтобы подогнать рисунок.

Если фигуры равны, каждой точке и каждому элементу одной фигуры соответствует единственный совпадающий элемент другой. Причина в том, что при наложении одна точка не может одновременно оказаться в двух разных местах второй фигуры. Сначала можно сопоставить вершины, а затем — стороны и углы, которые соединяют эти вершины. Так легче не перепутать, какие части следует сравнивать.

Из равенства фигур следует равенство длин соответствующих отрезков и величин соответствующих углов. При наложении соответствующие отрезки занимают одно и то же место, поэтому их длины совпадают. То же происходит с соответствующими углами: их стороны и вершины совпадают, значит, совпадает и величина угла. Это помогает проверять отдельные свойства фигур после того, как установлено их равенство.

Фигуры могут выглядеть по-разному из-за положения, цвета или направления, но оставаться равными, если полностью совмещаются. Цвет не меняет форму, а поворот или переворот меняет только то, как фигура расположена на листе. Поэтому при проверке мысленно не обращай внимания на цвет и направление. Сосредоточься на том, совпадут ли все точки и части фигуры после допустимого перемещения.

Что можно утверждать о равных фигурах

Пользуйся таблицей в таком порядке: сначала проверь, можно ли целиком совместить фигуры, а затем определи соответствующие точки, стороны и углы. Только после этого делай вывод о длинах отрезков и величинах углов. Разное положение фигур не считай причиной для отказа от равенства.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображены два треугольника, один из которых повернут. Определите, равны ли они. Не делай вывод только по направлению вершин: поворот может изменить расположение треугольника, но не его форму. Нужно проверить, совпадут ли все стороны и вершины после перемещения.

1. Выбери одну вершину первого треугольника и найди вершину второго, которая может с ней совпасть.
2. Мысленно поверни первый треугольник вокруг этой точки, не меняя его размеров.
3. Проверь остальные вершины и стороны: совпадение должно быть полным.

Если совпали все части, треугольники равны; если хотя бы одна сторона или вершина не совпадает, равенство не установлено. При работе с конкретным рисунком учитывай именно показанные размеры и форму. Ответ: равны тогда и только тогда, когда после поворота треугольники полностью совмещаются.

Задача 2. Даны два прямоугольника на клетчатой бумаге с разными сторонами и ориентацией. Установите, равны ли они. Разная ориентация сама по себе не мешает совпадению, поэтому сначала сравни размеры сторон, считая клетки. У прямоугольника есть две пары противоположных сторон одинаковой длины.

1. Посчитай клетки вдоль каждой стороны обоих прямоугольников.
2. Сопоставь короткие стороны с короткими, а длинные — с длинными; при необходимости мысленно поверни или переверни один прямоугольник.
3. Проверь, что совпадают обе длины и форма прямоугольников целиком.

Если длины сторон совпали, прямоугольники можно совместить поворотом или переворотом, значит, они равны. Если хотя бы одна соответствующая длина отличается, полного наложения не получится. Ответ: сравни обе пары сторон; разная ориентация не влияет на результат.

Задача 3. Из нескольких фигур выберите пары равных фигур и укажите соответствующие стороны и вершины. Здесь недостаточно заметить похожую форму или одинаковую длину одной стороны. Для каждой предполагаемой пары нужно проверить возможность полного совмещения, а затем записать, какие элементы встретились при наложении.

1. Выбери две фигуры и мысленно передвинь, поверни или переверни одну из них.
2. Если фигуры совместились целиком, отметь эту пару как равную; если нет — продолжай поиск.
3. Запиши совпавшие вершины и назови стороны, которые соединяют соответствующие вершины.

Пары вершин, совпадающие при наложении, являются соответствующими, как и стороны между ними. Если наложение не удалось, совпадение отдельных сторон ещё не позволяет назвать фигуры равными. Ответ: выбери пары с полным совпадением и укажи элементы по их совпадению при наложении.

Типичные ошибки

Ошибка: считать фигуры неравными только из-за разного положения или поворота. Так думают, потому что сравнивают рисунки, не представляя перемещение. Проверь себя: мысленно поверни или передвинь одну фигуру и выясни, совпадут ли все её части.

Ошибка: признать фигуры равными по одному совпавшему размеру. Одинаковая сторона может быть и у фигур разной формы, поэтому одного совпадения недостаточно. Проверь все части наложением, а не только одну сторону или угол.

Ошибка: путать равенство фигур с одинаковой площадью. Фигуры могут занимать одинаковую площадь, но иметь разную форму и не совмещаться. Проверка проста: попробуй наложить их целиком, не растягивая и не сжимая.

Ошибка: неверно сопоставлять вершины и стороны. Её допускают, когда сравнивают элементы по их расположению на листе, а не по совпадению при наложении. Сначала совмести фигуры, затем отметь совпавшие вершины и проверь, какие стороны соединяют соответствующие точки.

Связь с другими темами

До изучения равенства фигур нужно знать, что такое точка, отрезок, угол и многоугольник, а также уметь измерять длины и углы. Эти знания позволяют различать части фигуры и проверять, что именно совпадает при наложении. Позже равенство фигур пригодится при изучении периметра и площади, симметрии и геометрических построений. Оно также станет основой для темы о равенстве треугольников.

Что запомнить

• Равные фигуры полностью совмещаются при наложении.
• Перемещение, поворот и переворот не изменяют фигуру.
• Растяжение и сжатие изменяют фигуру.
• У равных фигур равны соответствующие отрезки.
• У равных фигур равны соответствующие углы.
• Положение фигуры на плоскости не определяет её равенство.
• Одинаковый размер одного элемента недостаточен для доказательства равенства фигур.