7.4. Площадь прямоугольника

Определения и обозначения

Площадь фигуры — величина, показывающая, сколько единичных квадратов укладывается внутри фигуры; её обозначают буквой S. Единичный квадрат имеет стороны, равные выбранной единице длины. Понятие площади помогает сравнивать размеры внутренних частей фигур.

Единица площади — площадь квадрата, сторона которого принята за единицу длины. Поэтому применяют квадратные единицы: мм², см², дм², м². Они нужны, чтобы одинаково измерять поверхности разного размера.

Площадь прямоугольника — это площадь фигуры, которую находят как произведение длины и ширины. Обычно длину обозначают буквой a, а ширину — буквой b. Такое обозначение позволяет записать правило коротко: S = a · b.

Квадратный сантиметр — площадь квадрата со стороной 1 см; его обозначают см². Один такой квадрат служит единицей для измерения площади небольших фигур. Например, площадь прямоугольника может быть равна 12 см², то есть внутри него помещаются 12 квадратов со стороной 1 см.

Как это устроено

Представим прямоугольник, разбитый на одинаковые единичные квадраты. В каждой строке квадраты идут один за другим вдоль длины, а в столбцах — вдоль ширины. Если пересчитать все клетки, получится площадь, потому что каждая клетка занимает одну единицу площади.

Пусть в одной строке находится 5 квадратов, а таких строк 3. В каждой из трёх строк по 5 квадратов, значит общее число равно 5 + 5 + 5, то есть 5 · 3. Поэтому количество квадратов, а вместе с ним и площадь, находят умножением числа квадратов в строке на количество строк.

Если длина прямоугольника равна a единиц, а ширина — b единиц, то в одном ряду помещается a единичных квадратов и всего имеется b рядов. Отсюда получается формула S = a · b. Порядок множителей не меняет результат, поэтому длину и ширину можно перемножать в любом порядке.

Единицы длины должны быть одинаковыми, потому что формула считает клетки одного и того же размера. Например, 2 м и 30 см нельзя сразу перемножить как 2 · 30: это смешало бы разные единицы. Сначала переводят величины, например 2 м = 200 см, а затем вычисляют 200 · 30 = 6000 см².

Если одну сторону увеличить в 2 раза, а вторую оставить прежней, каждый ряд или число рядов станет вдвое больше. Поэтому площадь также увеличится в 2 раза; при увеличении стороны в 3 раза площадь увеличится в 3 раза. Периметр устроен иначе: он показывает длину границы и находится сложением сторон, P = 2 · (a + b), а не умножением.

Величины, связанные с площадью прямоугольника

Сначала найди в условии известные величины и проверь, в каких единицах они записаны. Затем выбери строку таблицы с нужной неизвестной величиной. Если единицы разные, сначала переведи их в одинаковые.

Разбор задач

Задача 1

Прямоугольник разбит на 4 столбца и 3 строки квадратов со стороной 1 см. Нужно найти его площадь. Каждый маленький квадрат имеет площадь 1 см², поэтому можно либо пересчитать клетки, либо применить формулу.

1. В одной строке находится 4 квадрата, а строк всего 3.
2. Находим число квадратов: 4 · 3 = 12.
3. Так как сторона единичного квадрата равна 1 см, площадь равна 12 см².

Ответ: 12 см². По формуле получилось бы то же самое: S = 4 см · 3 см = 12 см².

Задача 2

Длина прямоугольника равна 8,5 см, ширина — 3 см. Обе величины уже выражены в сантиметрах, поэтому переводить их не требуется. Используем формулу площади прямоугольника.

1. Записываем данные: a = 8,5 см, b = 3 см.
2. Подставляем их в формулу: S = a · b = 8,5 · 3.
3. Выполняем умножение: 8,5 · 3 = 25,5.

Ответ: S = 25,5 см². Единица стала квадратной, потому что умножались две длины, выраженные в сантиметрах.

Задача 3

Площадь прямоугольника равна 3 м², длина — 150 см. Нужно найти ширину в сантиметрах. Сначала приведём площадь к квадратным сантиметрам: 1 м² = 10 000 см², значит 3 м² = 30 000 см².

1. Используем формулу S = a · b и выразим ширину: b = S : a.
2. Подставляем данные в одинаковых единицах: b = 30 000 см² : 150 см.
3. Выполняем деление: b = 200 см.

Ответ: ширина равна 200 см. Проверка: 150 см · 200 см = 30 000 см² = 3 м², значит вычисление выполнено верно.

Типичные ошибки

Длины иногда умножают в разных единицах, например 2 м на 30 см. Так происходит, когда сразу подставляют числа из условия; исправление — сначала перевести величины в одну единицу. Проверка: рядом с числами должны стоять одинаковые единицы длины.

Результат могут записать как 24 см, хотя перемножались сантиметры. Ошибка появляется из-за привычки смотреть только на исходные единицы. При умножении двух длин единица становится квадратной, поэтому нужно писать см².

Некоторые путают площадь с периметром и складывают стороны вместо умножения. Это происходит, если не определить, что именно требуется найти: внутреннюю часть или границу фигуры. Проверь себя по формуле: для площади S = a · b, для периметра P = 2 · (a + b).

При нахождении неизвестной стороны можно разделить площадь не на ту величину. Нужно использовать b = S : a для ширины и a = S : b для длины. Проверка обратным действием проста: умножь найденную сторону на известную и сравни результат с площадью.

Связь с другими темами

До этой темы нужны знания об единицах длины, их переводе, умножении и делении натуральных и десятичных дробей, а также о прямоугольнике. С периметром площадь связана общей фигурой, но вычисляется иначе: площадь — умножением, периметр — сложением сторон. Позже эти знания пригодятся при вычислении площади квадрата и других фигур, а также в задачах о планах, участках и поверхностях.

Что запомнить

• Площадь обозначают буквой S.
• Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины: S = a · b.
• Перед вычислением длину и ширину нужно выразить в одинаковых единицах.
• Площадь измеряют квадратными единицами: мм², см², дм², м².
• Чтобы найти неизвестную длину, площадь делят на ширину.
• Чтобы найти неизвестную ширину, площадь делят на длину.
• Единица площади получается при умножении двух одинаковых единиц длины.