28. Площадь прямоугольника

Определения и обозначения

Площадь прямоугольника — величина, показывающая, сколько единичных квадратов помещается внутри прямоугольника. Её обычно обозначают буквой S. Площадь нужна, чтобы сравнивать, сколько места занимают фигуры, и решать практические задачи, например о размере пола или участка.

Единичный квадрат — квадрат со стороной, равной единице выбранной длины; его площадь принимают за единицу площади. Например, если выбрана длина в один сантиметр, единичным будет квадрат со стороной 1 см. Сравнивая фигуру с такими квадратами, можно измерить её площадь.

Квадратный сантиметр — площадь квадрата со стороной 1 см; обозначение: 1 см². Маленькая цифра 2 показывает, что единица относится к площади квадрата, а не к длине отрезка. Квадратные сантиметры используют, когда измеряют сравнительно небольшие поверхности.

Формула площади прямоугольника — равенство S = a · b, где a и b — длины его сторон, а S — площадь. Буквами a и b можно обозначить длину и ширину прямоугольника. Формула помогает найти площадь, если известны обе стороны.

Как это устроено

Площадь измеряют квадратами, потому что фигура занимает часть плоскости, а квадратами удобно без промежутков покрывать ровную поверхность. Для этого выбирают квадрат с известной стороной и считают, сколько таких квадратов помещается в фигуре. Если изменить единицу длины, изменится и размер единичного квадрата, поэтому для одной и той же поверхности число квадратов может стать другим. Например, квадратный сантиметр и квадратный дециметр — разные единицы площади, связанные с разными по размеру квадратами.

Представь прямоугольник, целиком разбитый на одинаковые квадраты. Если вдоль одной стороны помещается a квадратов, то в одном ряду их a; число рядов вдоль другой стороны равно b. Такое разбиение показывает, что нужны две длины: одна сообщает количество квадратов в ряду, а другая — количество рядов. Условие о целых квадратах удобно для объяснения, а формула применяется и тогда, когда длины сторон не являются целыми числами.

В каждом ряду одинаковое число квадратов, равное a, а таких рядов b. Чтобы посчитать все квадраты, нужно сложить a столько раз, сколько имеется рядов; это и есть умножение a на b. Поэтому площадь прямоугольника равна S = a · b. Длины сторон перед умножением обязательно выражают в одинаковых единицах: иначе числа будут описывать разные меры длины и результат окажется неверным.

Когда известны обе стороны, подставь их значения в формулу и перемножь. Если известна площадь и одна сторона, формулу можно представить как деление: неизвестная сторона равна площади, делённой на известную сторону. Это обратное действие к умножению, ведь именно умножение известной и неизвестной сторон дало площадь. Единицы тоже согласуются: например, см² разделить на см — получится см.

У площади единицы квадратные, потому что формула перемножает две длины: сантиметры на сантиметры дают квадратные сантиметры. Так же м · м = м², а дм · дм = дм². При переводе нужно учитывать, что меняется площадь квадрата, а не только длина его стороны: 1 дм = 10 см, значит, квадрат со стороной 1 дм состоит из 10 рядов по 10 квадратов со стороной 1 см. Поэтому 1 дм² = 100 см².

Как находить площадь прямоугольника

В таблице собраны действия для трёх случаев: когда известны обе стороны и когда требуется найти одну из сторон по площади. Сначала выбери строку, которая соответствует данным задачи, а затем выполни указанное действие. Перед вычислением проверь единицы длины: в строках с делением площадь и известная сторона должны быть выражены согласованно.

Разбор задач

Найди площадь прямоугольника со сторонами 6 см и 4 см. Здесь известны обе стороны, поэтому подходит формула S = a · b. Обе длины уже даны в сантиметрах, значит, их можно сразу подставить. Ответ нужно будет выразить в квадратных сантиметрах.

1. Запишем формулу: S = a · b.
2. Подставим длины сторон: S = 6 · 4 = 24.
3. Запишем единицы площади: каждая сторона измерена в сантиметрах, поэтому получаем см².

Ответ: 24 см². Проверить вычисление можно умножением 6 на 4: в прямоугольнике будет шесть рядов по четыре квадратных сантиметра (или четыре ряда по шесть).

Площадь прямоугольника равна 48 см², одна сторона — 6 см. Нужно найти другую сторону, поэтому не перемножаем известные числа, а используем обратное действие к умножению. Деление площади на известную сторону даст длину недостающей стороны. Единицы при этом тоже меняются: квадратные сантиметры делятся на сантиметры.

1. Обозначим неизвестную сторону буквой b и запишем формулу: 48 = 6 · b.
2. Чтобы найти b, разделим площадь на известную сторону: b = 48 : 6.
3. Вычислим и укажем единицу длины: b = 8 см.

Ответ: 8 см. Проверка: 6 · 8 = 48, а значит, найденная сторона действительно даёт прямоугольник площадью 48 см².

Прямоугольная площадка имеет размеры 2 м и 80 см. Требуется найти площадь в квадратных сантиметрах. Сначала нужно привести обе длины к одной единице, потому что числа 2 и 80 относятся к разным единицам длины. Удобно перевести метры в сантиметры, ведь именно в квадратных сантиметрах должен быть записан ответ.

1. Переведём 2 м в сантиметры: 2 м = 200 см.
2. Подставим стороны в формулу: S = 200 · 80.
3. Вычислим: S = 16 000, а единица площади — см².

Ответ: 16 000 см². Можно проверить порядок действий: стороны перемножены только после перевода, а итог выражен в квадратных сантиметрах, как требовалось.

Типичные ошибки

Ошибка: умножать стороны, выраженные в разных единицах, не переводя их к одной единице. Так можно получить неверное значение, потому что, например, 2 м и 80 см нельзя подставлять как 2 и 80 без пересчёта. Эту ошибку допускают, когда смотрят только на числа и забывают о единицах. Проверь себя: перед умножением обе длины должны быть записаны в одинаковых единицах.

Ошибка: записывать площадь в линейных единицах, например см вместо см². Это происходит, если забыть, что площадь получена умножением двух длин, а не измерением одного отрезка. При перемножении сантиметров на сантиметры выходит квадратный сантиметр. Проверь ответ по действию и спроси себя, измеряешь ли ты поверхность или длину.

Ошибка: находить площадь сложением сторон. Сложение может дать длину границы прямоугольника, то есть периметр, а не количество квадратов внутри. Эти величины легко перепутать, потому что в обеих используются длины сторон. Проверь себя: для площади стороны перемножают, а для периметра складывают длины всех сторон.

Ошибка: при поиске неизвестной стороны делить известную сторону на площадь. Деление здесь должно быть обратным к умножению сторон в формуле S = a · b, поэтому делят площадь на известную сторону. Путаница возникает, если не записать, что именно требуется найти. Проверь результат по единицам: см² : см = см, а найденная сторона должна быть длиной.

Связь с другими темами

Для работы с площадью нужно уметь измерять длины, переводить их из одной единицы в другую, а также умножать и делить натуральные числа. Эти умения помогают правильно подставить стороны в формулу и записать единицы ответа. Площадь прямоугольника пригодится при вычислении площади квадрата и фигур, которые можно разделить на прямоугольники. Площадь и периметр используют длины сторон одной фигуры, но отвечают на разные вопросы и вычисляются по-разному.

Что запомнить

• Площадь показывает, сколько единичных квадратов покрывают фигуру.
• Площадь прямоугольника находят по формуле S = a · b.
• Чтобы найти неизвестную сторону, площадь делят на известную сторону.
• Перед вычислением длины сторон нужно выразить в одинаковых единицах.
• Площадь записывают в квадратных единицах: мм², см², дм², м².
• 1 дм² = 100 см².