"Математика (в 2 частях)", Рудницкая В.Н., Юдачёва Т.В.
Площадь показывает, сколько места фигура занимает на плоскости. Чтобы сравнить площади, фигуры можно покрыть одинаковыми квадратами и посчитать их количество: покрытие должно быть без промежутков и наложений. У прямоугольника число таких квадратов зависит от их количества в ряду и числа рядов, поэтому стороны перемножают. Формула S = a · b помогает находить площадь по двум соседним сторонам, а деление площади на известную сторону — длину другой стороны. Результат записывают в квадратных единицах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь — величина, которая показывает, сколько места фигура занимает на плоскости. Например, если одна фигура покрывается большим числом одинаковых квадратов, чем другая, её площадь больше. Сравнение площадей помогает понять размер фигур, даже если они выглядят по-разному.
Единичный квадрат — квадрат со стороной, равной единице длины. Его площадь принимают за единицу площади, потому что таким квадратом удобно измерять другие фигуры. Сначала выбирают единицу, а затем считают, сколько таких квадратов помещается внутри фигуры.
Площадь прямоугольника — число единичных квадратов, которыми можно покрыть прямоугольник без промежутков и наложений. Если квадратов не хватает или они перекрывают друг друга, подсчёт не покажет правильную площадь. Поэтому ровная укладка позволяет сравнивать результаты измерений.
Квадратный сантиметр (см²) — площадь квадрата со стороной 1 см, а квадратный метр (м²) — площадь квадрата со стороной 1 м. Эти единицы используют, когда измеряют небольшие предметы или большие поверхности. Буква ² показывает, что единица относится к площади, а не к длине.
Чтобы измерить площадь, фигуру мысленно или на чертеже покрывают одинаковыми единичными квадратами. Каждый квадрат должен занять своё место целиком: промежуток оставил бы непокрытую часть, а наложение привело бы к повторному учёту одной и той же части. Поэтому условия «без промежутков и наложений» нужны для точного подсчёта.
У прямоугольника квадраты располагаются ровными рядами. Если в каждом ряду одинаковое число квадратов, то можно не пересчитывать их все по одному: число квадратов в одном ряду повторяется столько раз, сколько всего рядов. Повторение одинакового слагаемого удобно заменить умножением, поэтому общее число квадратов равно произведению количества в ряду на число рядов.
Пусть длина прямоугольника равна a единицам, а соседняя ширина — b теми же единицами. Тогда вдоль одной стороны помещается a единичных отрезков, а вдоль другой — b; вместе они образуют a · b единичных квадратов. Значит, площадь прямоугольника вычисляют по формуле S = a · b, где S обозначает площадь.
В формуле стороны должны быть выражены в одинаковых единицах, иначе числа показывают длины, измеренные разными мерками. Например, прежде чем перемножить 2 м и 80 см, нужно перевести одну длину в другую единицу. Единица площади получается из единицы длины, взятой дважды: сантиметры дают квадратные сантиметры, а метры — квадратные метры.
Формулу можно использовать и в обратном направлении, если известны площадь и одна сторона. Поскольку площадь равна произведению соседних сторон, неизвестный множитель находят делением произведения на известный множитель. Поэтому неизвестная сторона равна площади, делённой на известную сторону; единицы площади при делении на длину сокращаются до единиц длины.
| Что находим | Обозначение | Как вычислить | Единица измерения |
|---|---|---|---|
| Длина одной стороны | a | Измерить или найти из условия | мм, см, м и другие единицы длины |
| Длина соседней стороны | b | Измерить или найти из условия | Та же единица длины, что и для a |
| Площадь прямоугольника | S | S = a · b | Квадратная единица: см², м² и другие |
| Неизвестная сторона по площади и известной стороне | a или b | S : известная сторона | Единица длины |
Сначала определи, что именно требуется найти: площадь или длину стороны. Затем проверь, что известные длины выражены в одинаковых единицах, и выбери соответствующую строку таблицы. В конце сопоставь единицу ответа с найденной величиной: для площади нужна квадратная единица, для стороны — обычная.
Задача 1. Длина прямоугольника 7 см, ширина 3 см. Найдите его площадь. Здесь известны обе соседние стороны, поэтому достаточно применить формулу площади и указать квадратную единицу. Обе длины уже даны в сантиметрах.
Ответ: 21 см².
Задача 2. Площадь прямоугольника равна 48 см², одна сторона — 8 см. Найдите другую сторону. Неизвестная сторона является множителем в формуле S = a · b, поэтому её можно получить делением площади на известную сторону. При этом см² делятся на см, и результат измеряется в сантиметрах.
Ответ: 6 см.
Задача 3. Прямоугольная площадка имеет размеры 2 м и 80 см. Найдите её площадь в квадратных сантиметрах, а затем в квадратных метрах. Сначала нужно привести стороны к одинаковым единицам: так вычисление будет корректным. Затем результат в см² переведём в м², учитывая, что квадратный метр содержит 10 000 квадратных сантиметров.
Ответ: 16 000 см², или 1,6 м².
Ошибка: складывать длины сторон вместо умножения. Так иногда поступают, путая площадь с периметром: сумма длин связана с границей прямоугольника, а не с количеством квадратов внутри. Проверь себя: площадь должна показывать число квадратных единиц, поэтому для неё используют S = a · b.
Ошибка: записывать площадь в сантиметрах или метрах. Такие единицы измеряют длину, поэтому запись не соответствует тому, что найдено. Спроси себя, что показывает ответ: если это покрытая поверхность, добавь квадратную степень — см² или м².
Ошибка: подставлять длины в разных единицах, например метры и сантиметры. Причина обычно в том, что единицы замечают только после вычисления, хотя одинаковые числа могут обозначать разные длины. До умножения переведи одну сторону и проверь, что единицы совпадают.
Ошибка: умножать площадь на известную сторону, когда требуется найти другую. В формуле площадь уже является произведением сторон, поэтому неизвестный множитель получают делением. Проверь действие обратной подстановкой: произведение известной и найденной сторон должно дать исходную площадь.
Для вычисления площади понадобятся навыки измерения длины, умножения и деления натуральных чисел. Нужно также уметь переводить единицы длины, чтобы перед подстановкой в формулу привести стороны к одной мерке. Эти действия встречаются и в задачах о предметах или участках реального мира.
Формула площади прямоугольника помогает находить площадь квадрата, поскольку квадрат — это прямоугольник с равными сторонами. Она также пригодится при вычислении площади составных фигур, которые можно разделить на прямоугольники. В практических задачах так определяют, например, площадь пола, стены или площадки.
Почему площадь прямоугольника находят умножением, а не сложением?
Умножение позволяет посчитать единичные квадраты во всех рядах: число квадратов в одном ряду умножают на число рядов. Сложение длин сторон даёт периметр, а не площадь.
Почему в ответе нужно писать квадратные сантиметры, а не сантиметры?
Сантиметр измеряет длину, а площадь показывает, сколько квадратов покрывает фигуру. Если стороны измерены в сантиметрах, площадь записывают в квадратных сантиметрах (см²).
Можно ли умножать длину в метрах на ширину в сантиметрах?
Сначала приведи обе длины к одной единице, например переведи метры в сантиметры. Тогда вычисление и единица площади будут однозначными.
Как найти сторону прямоугольника, если известны его площадь и другая сторона?
Раздели площадь на длину известной стороны: если S = a · b, то неизвестная сторона равна S : a или S : b. Единицы результата будут единицами длины.
Как перевести площадь из квадратных сантиметров в квадратные метры?
В одном метре 100 сантиметров, поэтому в квадратном метре 100 · 100 = 10 000 квадратных сантиметров. Чтобы перевести см² в м², раздели число на 10 000.
Площадь прямоугольника
