Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Точка — простейшая геометрическая фигура. На бумаге её изображают маленькой отметкой и называют заглавной латинской буквой, например A или O. Настоящая геометрическая точка не имеет размера, а отметка нужна лишь для того, чтобы показать её место. Точки помогают задавать положение других фигур.

Прямая — линия, которая продолжается бесконечно в обе стороны. Её обозначают двумя заглавными буквами точек на ней, например AB, или одной строчной латинской буквой. Стрелки на чертеже подсказывают, что линия продолжается дальше. Такое обозначение позволяет понять, о какой прямой идёт речь.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка, например A и B у отрезка AB. Между концами тоже находятся точки, поэтому отрезок — не только две отметки на рисунке. Его можно измерить линейкой.

Луч — часть прямой, у которой есть начало, но нет конца. Его называют двумя буквами: сначала указывают начальную точку, затем точку, лежащую на луче, например луч OA. Стрелка показывает направление продолжения. Так по обозначению можно отличить начало луча от других точек на нём.

Как это устроено

Точка и прямая считаются исходными геометрическими образами: их не определяют через более простые фигуры, а используют, чтобы описывать остальные. На листе невозможно изобразить прямую бесконечной, поэтому чертёж показывает только её часть. Концы нарисованной линии не означают, что сама прямая там заканчивается. Стрелки по краям напоминают о продолжении в обе стороны.

Если на прямой отметить две точки, они выделят часть линии между собой — отрезок. Именно наличие двух концов делает его ограниченным: можно приложить линейку от одного конца до другого и узнать длину. Все точки между концами принадлежат этому отрезку. Чем дальше его концы друг от друга, тем больше его длина.

Одна точка на прямой разделяет её на две части, уходящие от этой точки в противоположные стороны. Каждая часть — луч, а отмеченная точка становится его началом. Поэтому у получившихся лучей начало общее, но направления разные. Если начало обозначено O, а на двух сторонах прямой отмечены A и B, лучи можно назвать OA и OB.

Прямая, отрезок и луч отличаются тем, сколько у них ограничивающих точек. У прямой нет концов, у отрезка два конца, у луча одно начало и нет конца в направлении продолжения. Поэтому измерить длину целой прямой или луча нельзя: они не ограничены с одной стороны или с обеих. У отрезка длину измеряют, потому что его границы определены.

Буквы помогают не спутать фигуры, даже если на чертеже их несколько. Заглавные буквы обычно называют отмеченные точки, а строчная буква может обозначать прямую. Для отрезка указывают оба конца, а для луча важен порядок букв: первая называет начало. Например, AB и BA задают один отрезок, но лучи AB и BA обычно направлены по-разному.

Сравнение прямой, отрезка и луча

Сначала посмотри, сколько у фигуры концов, а затем проверь, ограничена ли она с обеих сторон. Если есть два конца, перед тобой отрезок, длину которого можно найти. У луча и прямой длина не измеряется, потому что фигуры продолжаются бесконечно.

Разбор задач

Точки A и B на чертеже

Условие. На рисунке отмечены точки A и B. Назови фигуру, которая проходит через обе точки, и фигуру, ограниченную этими точками. Чтобы ответить, нужно различить бесконечную линию и её ограниченную часть. Обе фигуры связаны с теми же точками, но устроены по-разному.

1. Прямая, проходящая через A и B, продолжается в обе стороны за эти точки. Её называют прямой AB.
2. Часть этой прямой от A до B имеет два конца. Это отрезок AB.
3. Проверь различие по концам: у прямой их нет, а точки A и B ограничивают отрезок.

Ответ: через точки проходит прямая AB, а ограниченный ими отрезок — AB.

Точка на прямой

Условие. Отметь точку O и проведи через неё прямую. Нужно назвать лучи, на которые точка делит эту прямую. Представь, что от O линия уходит в одну сторону и в другую. У каждой из этих частей O будет началом.

1. Поставь на прямой точку O, затем отметь по одной точке с каждой её стороны, например A и B.
2. Назови луч, который начинается в O и проходит через A: это луч OA. Вторая часть начинается в O и проходит через B: это луч OB.
3. Проверь направление: оба луча имеют общее начало O, но направлены в разные стороны.

Ответ: точка O делит прямую на лучи OA и OB, где A и B лежат по разные стороны от O.

Длины частей отрезка

Условие. На прямой отмечены точки A, B и C, причём B находится между A и C. Известно, что AB = 4 см, BC = 3 см. Перечисли отрезки и найди длину AC. Поскольку B лежит внутри отрезка AC, весь отрезок состоит из двух частей.

1. Назови пары точек: получились отрезки AB, BC и AC. Отрезок AC включает обе меньшие части.
2. Сложи длины частей: AC = AB + BC. Подставь известные значения: AC = 4 см + 3 см.
3. Вычисли сумму: 4 + 3 = 7. Ответ вырази в тех же единицах, что и длины частей.

Ответ: отрезки AB, BC и AC; длина AC равна 7 см.

Типичные ошибки

Можно решить, что прямая заканчивается у края листа или чертежа. Так кажется, потому что на бумаге нельзя провести бесконечную линию. Проверь себя: у прямой по условию нет концов, а стрелки на рисунке показывают, что она продолжается дальше.

Иногда отрезок называют лучом или прямой, не считая концы. Ошибка возникает, если смотреть только на то, что фигуры нарисованы линиями. Сосчитай ограничивающие точки: у отрезка их две, у луча одна начальная, а прямая не ограничена.

Точка на конце отрезка — не весь отрезок, а только его граница. Путаница появляется, если замечать лишь точки A и B и забывать о линии между ними. Чтобы проверить себя, назови все точки от A до B: отрезок включает и концы, и точки между ними.

Отрезки AB и BA иногда принимают за разные фигуры из-за перестановки букв. Но буквы здесь называют два конца, и у отрезка их порядок не задаёт направление. Проверь, совпадают ли пары концов: если это A и B, то обозначения AB и BA говорят об одном отрезке.

Связь с другими темами

Перед изучением темы полезно научиться отмечать точки и проводить линии линейкой. Линейка также помогает измерять отрезки, если совместить её шкалу с концами фигуры. Точность измерения зависит от аккуратного расположения линейки.

Точки, прямые и отрезки понадобятся при изучении углов, многоугольников и построений циркулем и линейкой. В многоугольниках стороны являются отрезками, а их пересечения образуют вершины. Поэтому умение распознавать фигуры помогает понимать чертежи.

Измерение отрезков связывает геометрию с единицами длины, например сантиметрами. Чтобы найти периметр многоугольника, складывают длины его сторон. Значит, точное измерение отдельных отрезков помогает вычислять длину границы фигуры.

Что запомнить

• Точку обозначают заглавной латинской буквой.
• Прямая бесконечна в обе стороны.
• Отрезок имеет два конца.
• Длину отрезка можно измерить.
• Луч имеет начало, но не имеет конца.
• Точка на прямой задаёт начало двух лучей.