2. Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Точка обозначает место и не имеет размеров: на чертеже её обычно показывают маленьким следом карандаша. Точку называют заглавной латинской буквой, например A или O. Это помогает точно указать место, о котором говорится в задаче.

Прямая — линия, которая бесконечно продолжается в обе стороны. На чертеже её изображают лишь частью, а концы обычно отмечают стрелками. Прямую обозначают двумя заглавными буквами точек на ней, например AB, или одной строчной латинской буквой.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка; отрезок с концами A и B обозначают AB. Такое обозначение помогает отличить ограниченную часть линии, длину которой можно измерить, от бесконечной прямой.

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало лучей называют вершиной угла, а сами лучи — его сторонами. Если вершина O, а на сторонах отмечены A и B, угол обозначают AOB, ставя вершину на второе место.

Как это устроено

Точку и прямую называют исходными геометрическими образами: их принимают за основу и не определяют через более простые фигуры. Точка задаёт положение, а прямая — направление и ровную линию. С их помощью можно описывать и строить другие фигуры: например, точки задают концы отрезка, а прямые помогают проводить лучи и стороны фигур.

Чтобы получить луч, выберем на прямой точку O. Она делит прямую на две части, и каждая часть начинается в O и бесконечно продолжается в свою сторону. Эти части и есть два луча с началом O; точка на каждом луче показывает, куда он направлен, поэтому лучи обозначают, например, OA и OB.

Если на прямой отметить две точки A и B, часть линии между ними будет отрезком AB. Точки A и B ограничивают его, поэтому у отрезка есть конечная длина и её можно измерить. Прямая и луч продолжаются бесконечно, так что их нельзя измерить как фигуры с двумя концами: на рисунке виден только небольшой участок.

Два луча с общим началом образуют угол, потому что расходятся из одной точки в разных направлениях. Общее начало становится вершиной, а лучи — сторонами угла. Для обозначения выбирают по одной точке на каждой стороне и записывают три буквы так, чтобы вершина стояла в середине: AOB; иногда угол называют одной буквой вершины, если путаницы нет.

На чертеже геометрическую фигуру часто показывают условно: у прямой видны края листа или нарисованной линии, но это не её настоящие концы. Поэтому нужно смотреть на отметки и обозначения, а не только на видимый участок. Сама фигура — это геометрический объект, а буквы рядом с ней лишь помогают назвать его или указать отдельные точки.

Сравнение основных геометрических фигур

Пользуйся таблицей, чтобы сравнить фигуры по тому, есть ли у них начало, концы или продолжение. Для обозначения луча порядок букв важен: первая указывает начало. В обозначении угла из трёх букв средняя показывает вершину.

Разбор задач

Задача. На рисунке отмечены точки A и B. Назовите прямую, проходящую через них, и отрезок с концами A и B.

1. Прямая проходит через обе точки и продолжается за них в обе стороны. Поэтому её можно назвать прямой AB.
2. Отрезок включает только часть линии между A и B. Его концы — именно эти две точки, значит, это отрезок AB.

Ответ: прямая AB и отрезок AB. Одинаковые буквы указывают на связанные с точками фигуры, а понять, что имеется в виду, помогают слова «прямая» и «отрезок».

Задача. На прямой отмечена точка O. Назовите два луча, на которые она делит прямую, если на них отмечены точки A и B.

1. Точка O — начало обоих лучей, потому что оба выходят из неё.
2. Точки A и B показывают направления по разные стороны от O. Значит, один луч обозначается OA, а другой — OB.

Ответ: лучи OA и OB. В каждом обозначении сначала записано начало O, затем точка на соответствующем луче; перестановка букв изменила бы указание начала.

Задача. Из точки O проведены лучи OA, OB и OC. Назовите образованные углы и укажите их вершины и стороны.

1. Угол образуют две стороны с общим началом, поэтому рассматриваем пары лучей: OA и OB, OB и OC, OA и OC.
2. Для каждой пары записываем букву вершины O в середине. Получаются углы AOB, BOC и AOC.
3. У всех трёх углов вершина O. Их сторонами соответственно являются лучи OA и OB; OB и OC; OA и OC.

Ответ: углы AOB, BOC и AOC с вершиной O. Если на чертеже нужно назвать только угол между соседними лучами, следует проверить их расположение, а не перечислять все пары автоматически.

Типичные ошибки

Прямую иногда считают ограниченной краями чертежа, потому что на бумаге виден только небольшой участок линии. Но граница листа не является концом прямой: стрелки или обозначение показывают, что она продолжается. Проверь себя: спроси, отмечены ли настоящие концы; у прямой их нет.

Луч порой называют одной буквой, указывая только его начало. Из этой точки могут выходить лучи в разных направлениях, поэтому такое название не позволяет понять, какой выбран. Проверь обозначение: после буквы начала должна быть буква точки, лежащей на нужном луче.

Отрезок можно перепутать с прямой, если смотреть только на нарисованную линию. Ошибка возникает потому, что обе фигуры изображают похожим штрихом, но у отрезка есть два конца, а прямая бесконечна. Проверь, названы ли концевые точки и требуется ли измерить длину: это признаки отрезка.

В обозначении угла иногда ставят вершину первой или последней, хотя используют три буквы. Так можно неверно прочитать, какая точка является общим началом сторон. Чтобы проверить себя, найди две стороны и их общую точку: её буква должна стоять в середине, например AOB.

Связь с другими темами

Для работы с геометрическими фигурами нужно различать отмеченные на чертеже точки и уметь называть их заглавными латинскими буквами. Понятия луча и угла понадобятся, когда вы будете изучать виды углов, измерять их и строить фигуры. Отрезок связан с измерением длины: его длины используют в задачах на периметр — сумму длин сторон фигуры.

Что запомнить

• Точки обозначают заглавными латинскими буквами.
• Прямая бесконечна в обе стороны.
• Луч имеет начало и бесконечно продолжается в одну сторону.
• Отрезок ограничен двумя концами.
• Угол образуют два луча с общим началом.
• Вершину угла указывают второй в обозначении угла по трём точкам.