Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Точка — основной геометрический объект, у которого нет длины и ширины. На чертеже её изображают маленькой отметкой и обозначают заглавной буквой: A, B или C. Точка нужна, чтобы задавать положение объектов и называть их части.

Прямая — бесконечная линия без концов, продолжающаяся в обе стороны. Её можно обозначить двумя точками, например прямая AB, или одной строчной буквой, например прямая a. Такое обозначение помогает отличать одну бесконечную линию от другой.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя концами. Его обозначают буквами концов: отрезок AB, но длину записывают как |AB|, потому что фигура и числовое значение её длины — не одно и то же. Отрезок нужен для изображения конечного расстояния между точками.

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общей начальной точкой. Общая точка называется вершиной, а лучи — сторонами угла. Угол ABC читают по трём буквам: B — вершина, поэтому она стоит посередине.

Как это устроено

Луч и отрезок получают из прямой, выделяя её часть. Если указать одну граничную точку и направление, получится луч: от этой точки линия продолжается бесконечно. Если указать две граничные точки, останется отрезок, расположенный между ними.

Вид фигуры задают не только отдельные точки, но и их порядок. Для луча важно, какая точка является началом, поэтому луч AB и луч BA направлены в разные стороны. Для отрезка порядок букв обычно не меняет саму фигуру: отрезки AB и BA имеют одни и те же концы.

Обозначения читают по смыслу букв. Две буквы прямой называют любые две точки на ней, одна строчная буква может обозначать всю прямую, а у луча первая буква всегда показывает начало. В записи угла из трёх букв средняя буква указывает вершину, а крайние — точки на сторонах.

Фигуры бывают бесконечными и ограниченными. Прямая не имеет границ, а луч ограничен только с одной стороны, поэтому их полную длину определить нельзя. Отрезок имеет два конца и конечную длину, которую можно измерить линейкой.

Чтобы проверить принадлежность точки, сначала смотрят, лежит ли она на нужной линии. Для отрезка точка должна находиться между концами или совпадать с одним из них, а для луча — находиться от начала в указанном направлении. Точка на продолжении за концом отрезка или за началом луча этой фигуре не принадлежит.

Основные геометрические фигуры и их признаки

Таблицу удобно использовать для сравнения фигур по одному признаку. Если нужно определить фигуру на чертеже, сначала найдите концы, начало или вершину, а затем проверьте, есть ли стрелки и можно ли измерить длину.

Разбор задач

Задача 1. Назвать фигуры и записать их обозначения

На чертеже показаны линия со стрелками в обе стороны через точки A и B, линия с началом C и стрелкой через D, а также часть линии между E и F. Нужно назвать фигуры и записать их обозначения.

1. Стрелки в обе стороны показывают, что первая фигура бесконечна в обоих направлениях. Это прямая AB.
2. У второй фигуры есть начало C и одно направление через D. Это луч CD, потому что первая буква обозначает начало.
3. Третья фигура имеет два конца E и F и не продолжается дальше. Это отрезок EF.

Ответ: прямая AB, луч CD, отрезок EF.

Задача 2. Проверить принадлежность точек

На прямой отмечены точки E и F, на луче CD — точки C, G и H в указанном направлении, а точка K лежит на продолжении за началом луча. Нужно определить, какие точки принадлежат отрезку EF и лучу CD.

1. Для отрезка EF проверяем, находится ли точка между E и F или совпадает с концом. Подходят только точки, расположенные на этой ограниченной части.
2. Для луча CD начало — C, поэтому подходят C и все точки после C по направлению к D. Точка на обратной стороне от C лучу CD не принадлежит.
3. Точку K сравниваем именно с направлением луча, а не только с прямой, на которой он лежит.

Ответ: отрезку EF принадлежат точки между E и F вместе с концами; лучу CD принадлежат C, G и H, но не K.

Задача 3. Построить и распознать части угла

Нужно построить угол ABC, провести его биссектрису и отметить точку внутри угла, точку на его стороне и точку вне угла. Биссектриса — луч, который делит угол на два равных угла.

1. Отметьте точку B и проведите из неё два луча BA и BC. Получится угол ABC, причём B — его вершина.
2. Проведите из B луч, который проходит между сторонами BA и BC и делит угол пополам. Этот луч является биссектрисой.
3. Выберите точку между сторонами — она находится внутри угла; точку на BA или BC — на стороне; точку за пределами области между лучами — вне угла.

Ответ: угол ABC построен с вершиной B, биссектриса выходит из B, а положение каждой отмеченной точки определяется её отношением к сторонам угла.

Типичные ошибки

Ошибка — считать точку маленьким кружком с собственной длиной и шириной. Кружок нужен только для удобства изображения, а сама точка размеров не имеет. Проверьте себя: у точки указывают положение, но не измеряют её линейкой.

Иногда отрезок называют прямой или лучом, потому что все они изображаются линией. Отличие проверяют по границам: у отрезка два конца, и за них он не продолжается. Если на концах стоят стрелки, это уже не отрезок.

Нельзя переставлять буквы в обозначении луча или угла без проверки порядка. В луче первая буква задаёт начало, а в угле средняя буква задаёт вершину. Прочитайте запись вслух и найдите точку начала или вершину.

Ещё одна ошибка — пытаться измерить прямую или луч. Они бесконечны, поэтому полной конечной длины у них нет. Линейкой измеряют отрезок или выбранную ограниченную часть фигуры.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужно уметь различать точку, линию и направление, пользоваться линейкой и читать простые чертежи. Эти навыки помогают правильно распознавать фигуры и отмечать их элементы.

Геометрические фигуры понадобятся при изучении длины отрезка, видов углов, треугольников и других многоугольников. Любой многоугольник строится из отрезков, а его углы образуются лучами.

Понимание обозначений необходимо для построений и решения задач по чертежам. Позже оно пригодится при работе с координатной плоскостью, где точки задают положение объектов.

Что запомнить

• Точка обозначается заглавной буквой и не имеет размеров.
• Прямая не имеет концов и бесконечна в обе стороны.
• Луч имеет начало, но не имеет конца.
• Отрезок имеет два конца и конечную длину.
• Угол состоит из двух лучей с общей начальной точкой.
• В обозначении угла вершина записывается средней буквой.
• Вид фигуры определяется её элементами, границами и взаимным расположением.