Окружность. Циркуль

Определения и обозначения

Окружность — это замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки. Эту точку называют центром, обычно обозначают буквой O. Такое определение помогает отличить окружность от произвольной замкнутой линии: расстояние до центра у каждой её точки должно быть одним и тем же.

Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой; его длину тоже называют радиусом и часто обозначают r. Все радиусы одной окружности равны, поэтому достаточно задать центр и один радиус, чтобы определить её размер. Радиус нужен и при построении циркулем, и при сравнении окружностей.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр — хорда, проходящая через центр; его длина равна двум радиусам, то есть d = 2r. Эти понятия помогают описывать отрезки внутри окружности и находить длину диаметра, если известен радиус.

Циркуль — чертёжный инструмент с двумя ножками: одна обычно заканчивается иглой, другая — грифелем. Он нужен, чтобы проводить окружности с заданным радиусом и переносить длины отрезков. Раскрытие ножек задаёт расстояние от центра до линии, поэтому при черчении его нельзя случайно менять.

Как это устроено

Окружность можно представить как след карандаша, который движется вокруг неподвижной точки и всё время остаётся от неё на одном расстоянии. Неподвижная точка становится центром, а постоянное расстояние — радиусом. Если расстояние хотя бы немного меняется, карандаш уже не проходит по одной окружности: некоторые точки оказываются ближе к центру, а другие дальше.

При построении сначала выбирают центр, потому что без него нельзя определить, откуда откладывать радиус. Затем устанавливают раскрытие циркуля по нужной длине: расстояние между его ножками должно совпадать с радиусом. Иглу ставят в центр, а грифель, не меняя раскрытия, проводят вокруг него. Так инструмент автоматически сохраняет равное расстояние до центра во всех точках линии.

Если окружность должна пройти через заданную точку A, а её центр O известен, радиусом становится отрезок OA. Поэтому иглу помещают в O, а грифель устанавливают на A; после этого проводят окружность. Обратная задача тоже понятна: когда известны центр и радиус, окружность можно построить без заранее заданной точки на ней. В обоих случаях ключевое условие одно — ножки циркуля должны быть раскрыты на точную длину радиуса.

Диаметр проходит через центр, потому что его концы лежат на окружности, а отрезок между ними пересекает центр. Он состоит из двух радиусов, расположенных на одной прямой по разные стороны от центра, поэтому d = 2r. Например, при радиусе 3 см диаметр равен 6 см. Если известен диаметр, радиус находят делением его длины на два.

Циркулем удобно не только чертить, но и переносить расстояния. Для этого его раскрывают по данному отрезку, а затем переносят иглу в нужное место, сохраняя расстояние между ножками. Такой способ полезен, когда нужно отметить длину без линейки или построить несколько равных отрезков. Важно, что циркуль сохраняет длину, а не положение отрезка: его можно перенести в другое место.

Основные элементы окружности

Сначала определи, о каком элементе говорится: отрезок от центра — радиус, а отрезок между двумя точками окружности — хорда. Если хорда проходит через центр, это диаметр. Формула d = 2r помогает перейти от радиуса к диаметру и обратно.

Разбор задач

Задача. Построй окружность с центром O, проходящую через точку A, если OA = 4 см. Затем определи её диаметр. В условии уже задан радиус: расстояние от центра до точки окружности равно 4 см. Значит, точка A должна оказаться на проведённой линии, а раскрытие циркуля нужно установить ровно на длину OA.

1. Проверь линейкой, что отрезок OA имеет длину 4 см. Это расстояние и будет радиусом искомой окружности.
2. Поставь иглу циркуля в точку O, а грифель — в точку A. Не сдвигая иглу, осторожно проведи окружность и не меняй раскрытие циркуля по ходу построения.
3. Для нахождения диаметра вспомни, что он состоит из двух радиусов. Умножь длину радиуса на два: d = 2 · 4 = 8 см.
4. Проверь построение: точка A должна лежать на окружности, а расстояние от O до любой другой точки этой линии должно быть примерно 4 см.

Ответ: построена окружность с центром O и радиусом 4 см; её диаметр равен 8 см. Проверка нужна не только для вычисления: если A не попала на линию, значит, центр или раскрытие циркуля выбраны неверно. Если линия замкнулась неаккуратно, окружность можно провести заново, сохранив тот же центр и радиус.

Типичные ошибки

Ошибка: считать окружностью всю область внутри линии. Так путают окружность и круг, потому что в обычной речи эти слова часто употребляют как похожие. Окружность — только граница, а круг включает и границу, и внутреннюю область. Проверь себя: если речь идёт о линии, назови окружность; если о всей плоской фигуре — круг.

Ошибка: измерять радиус от края окружности до её центра, не уточняя, какой именно край выбран. Причина в том, что у окружности нет углов или выделенной начальной точки, и кажется, будто разные расстояния могут быть допустимы. На самом деле расстояние от центра до каждой точки окружности одинаково. Проведи два радиуса в разные стороны и сравни их циркулем: раскрытие должно совпасть.

Ошибка: менять раскрытие циркуля во время черчения или сдвигать иглу с центра. Это происходит, если сильно нажимать на карандаш или неустойчиво держать инструмент. Тогда расстояние до центра перестаёт быть постоянным, и линия получается неровной или смещённой. Для проверки убедись, что игла всё время стоит в одной точке, а ножки не расходятся и не сходятся.

Связь с другими темами

Окружность связана с измерением длины отрезков: радиус и диаметр можно измерить линейкой, а циркулем — перенести на другое место. При решении геометрических задач пригодятся также понятия точки, прямой и отрезка, потому что центр и концы хорд обозначают точками, а радиусы и диаметры являются отрезками. Связь d = 2r позволяет переходить между радиусом и диаметром и применять вычисления в задачах. Позже окружность встречается при изучении углов, многоугольников и геометрических построений.

Что запомнить

• Окружность состоит из точек, равноудалённых от центра.
• Радиус соединяет центр с точкой окружности; все радиусы равны.
• Диаметр — хорда через центр, его длина равна двум радиусам: d = 2r.
• При построении игла циркуля остаётся в центре, а раскрытие не меняется.
• Циркулем можно чертить окружности и переносить длины отрезков.