"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Кратное сравнение помогает узнать, сколько раз одна величина содержится в другой. Для этого сравниваемые значения делят, предварительно выражая их в одинаковых единицах. Если спрашивают, во сколько раз больше, делят большее на меньшее; если во сколько раз меньше — меньшее на большее. Это не то же самое, что сравнение «на сколько»: в нём находят разность вычитанием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Кратное сравнение — сравнение двух величин с помощью их частного. Иначе говоря, мы узнаём не разницу между значениями, а отношение одного значения к другому. Такое сравнение нужно, когда требуется ответить на вопрос «во сколько раз?».
«Во сколько раз больше» — вопрос о том, сколько раз одна величина содержится в другой; для ответа большее значение делят на меньшее. Например, если предметов 12 и 4, то 12 : 4 показывает, сколько групп по 4 предмета составляют 12. Это правило помогает определить, какое значение взять делимым, а какое — делителем.
«Во сколько раз меньше» — вопрос о том, во сколько раз меньшая величина отличается от большей; меньшую величину делят на большую. Полученное частное показывает, какую долю большего составляет меньшее. Такая формулировка помогает не перепутать порядок чисел и смысл ответа.
Частное — результат деления, показывающий, во сколько раз одно число больше или меньше другого. Например, в записи 12 : 4 = 3 число 3 — частное. Оно выражает отношение сравниваемых значений, поэтому ответ нужно связывать с конкретными величинами.
Перед сравнением нужно привести величины к одинаковым единицам измерения. Число 2 метра и число 50 сантиметров напрямую делить нельзя: числа относятся к разным единицам. После перевода, например, в сантиметры получаем 200 см и 50 см, и их отношение уже можно найти делением.
Чтобы узнать, во сколько раз одна величина больше другой, большее значение делят на меньшее. Так мы выясняем, сколько одинаковых частей, равных меньшему значению, помещается в большем. Например, частное 12 : 4 = 3 означает, что 12 состоит из трёх значений по 4.
Чтобы узнать, во сколько раз одна величина меньше другой, меньшее значение делят на большее. Здесь мы выясняем, какую часть большего значения составляет меньшее, поэтому результат может быть дробным или меньше единицы. Например, 4 : 12 = ⅓ показывает, что 4 составляет треть от 12.
Кратное сравнение отличается от разностного: при вопросе «на сколько» выполняют вычитание, а при вопросе «во сколько раз» — деление. Вычитание измеряет разницу в единицах исходных величин, например на 8 карандашей. Деление единиц не оставляет и показывает отношение: например, в 3 раза.
Если значения поменять местами, результат кратного сравнения изменится на обратное число. Например, 12 : 4 = 3, а при обратном сравнении 4 : 12 = ⅓. Это происходит потому, что теперь мы узнаём, какую часть большего составляет меньшее, а не сколько меньших значений содержится в большем.
| Вопрос | Действие | Что показывает результат | Пример записи |
|---|---|---|---|
| Во сколько раз больше первое значение второго | Большее значение разделить на меньшее | Сколько раз меньшее значение содержится в большем | a : b |
| Во сколько раз меньше первое значение второго | Меньшее значение разделить на большее | Какую долю большего составляет меньшее | b : a |
| На сколько больше или меньше | Из большего значения вычесть меньшее | Разность двух значений, а не их кратное отношение | a − b |
Сначала найди в условии вопрос и определи, сравниваются ли значения отношением или разностью. В первых двух строках таблицы используется деление, а в последней — вычитание. Буквы a и b обозначают сравниваемые значения; перед вычислением проверь, что у величин одинаковые единицы.
В одной коробке 12 карандашей, а в другой 4 карандаша. Нужно узнать, во сколько раз карандашей в первой коробке больше, чем во второй. Первое количество больше, поэтому делим 12 на 4.
Ответ: в первой коробке карандашей в 3 раза больше, чем во второй.
Длина ленты 2 м, а длина отрезка 50 см. Спрашивается, во сколько раз лента длиннее отрезка. Сначала нужно привести длины к одной единице, иначе частное будет составлено из чисел, измеренных по-разному.
Ответ: лента в 4 раза длиннее отрезка.
В библиотеке было 36 книг по математике и 9 книг по биологии. Выдали 6 математических и 3 биологические книги; нужно выяснить, во сколько раз книг по математике стало больше. Нельзя сравнивать начальные количества, потому что после выдачи оба значения изменились. Сначала найдём, сколько книг каждого вида осталось.
Ответ: после выдачи книг по математике стало в 5 раз больше, чем книг по биологии.
Выполняют вычитание вместо деления, потому что путают вопросы «на сколько» и «во сколько раз». В результате получают разность, хотя задача спрашивает об отношении. Проверь себя: если в условии есть слова «во сколько раз», нужно составить частное, а для слов «на сколько» — разность.
Делят меньшее число на большее, когда требуется узнать, во сколько раз первое значение больше. Так можно получить обратное отношение и изменить смысл ответа. Перед вычислением подпиши значения словами «большее» и «меньшее» и проверь, что делимое — большее.
Не переводят величины в одинаковые единицы измерения перед делением. Например, деление числа метров на число сантиметров не даёт правильного сравнения, поскольку числа выражены в разных единицах. Проверь единицы в условии и выполни перевод до вычисления.
Называют результат без пояснения, какая величина больше и какая меньше, из-за чего меняют смысл ответа. Одно и то же частное может относиться к разным вопросам, если переставить значения местами. В ответе назови обе величины и укажи, какая из них во сколько раз больше или меньше.
До изучения кратного сравнения нужно уметь делить числа и сравнивать их. Также понадобится переводить величины в одинаковые единицы, например сантиметры в метры. Эти умения позволяют правильно составить и вычислить частное.
Кратное сравнение часто встречается в текстовых задачах, а также при работе с масштабом, скоростью, ценами и отношениями величин. Во всех этих случаях важно понять, какие значения сравниваются и в каких единицах они заданы. Затем выбирают подходящее действие и объясняют смысл результата.
Позже кратное сравнение поможет разобраться с отношениями, дробями, процентами и пропорциями. Частное может быть записано как дробь, а отношение величин лежит в основе многих задач на пропорциональность. Поэтому полезно не только выполнять деление, но и понимать, что оно показывает.
Почему при вопросе «во сколько раз» нужно делить, а не вычитать?
Деление показывает, сколько раз одна величина содержится в другой, то есть их отношение. Вычитание показывает разность — на сколько единиц значения отличаются.
Как понять, какое число делить на какое?
Сначала определи, какое значение больше и какое меньше. Для ответа «во сколько раз больше» раздели большее на меньшее, а для ответа «во сколько раз меньше» — меньшее на большее.
Что делать, если величины выражены в разных единицах?
Сначала переведи их в одинаковые единицы, например метры в сантиметры. Иначе деление будет сравнивать несопоставимые числа.
Чем отличаются вопросы «во сколько раз больше» и «во сколько раз меньше»?
В первом случае большее значение делят на меньшее. Во втором меньшее делят на большее, чтобы выразить, какую часть большего составляет меньшее.
Может ли ответ на вопрос «во сколько раз» быть меньше единицы?
Да, если делить меньшее значение на большее, частное будет меньше единицы. Оно показывает, какую долю большего составляет меньшее; но при вопросе «во сколько раз больше» частное больше единицы.
Во сколько раз?
