Числа и вычисления

Определения и обозначения

Натуральные числа — числа, которые используют при счёте: 1, 2, 3 и так далее. Их записывают цифрами, а многоточие показывает, что ряд продолжается без конца. В школьных курсах натуральный ряд часто начинают с единицы, поэтому нуль не относят к натуральным; при решении задания учитывай указанное соглашение. Эти числа помогают пересчитывать предметы и задавать их количество.

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа и нуль: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … Противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него. Отрицательное число записывают со знаком минус перед цифрами, например −5; нуль не является ни положительным, ни отрицательным. Целые числа нужны, когда приходится учитывать не только наличие, но и уменьшение, долг или положение ниже условного нуля.

Рациональные числа — числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Например, 3/4, −2/5 и 6 рациональны, потому что 6 можно записать как 6/1. Десятичная запись рационального числа либо заканчивается, либо повторяет одну и ту же группу цифр бесконечно. Это множество позволяет записывать части целого и результаты деления.

Действительные числа — рациональные и иррациональные числа вместе. Иррациональные числа нельзя записать дробью с целым числителем и натуральным знаменателем; примеры — √2 и π. Каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой прямой, и каждой её точке соответствует действительное число. Благодаря этому числа можно изображать на прямой и сравнивать по расположению.

Как это устроено

Числовые множества расширяются, когда прежних чисел не хватает для ответа на задачу. Натуральных чисел достаточно, чтобы считать предметы, но вычитание большего числа из меньшего не даёт натурального результата. Поэтому добавляют нуль и отрицательные числа и получают целые числа. Деление целых не всегда даёт целое число, например 1 : 2 = 1/2, так появляются рациональные числа; а для величин вроде диагонали квадрата нужны также иррациональные числа.

Связь чисел с точками показывает координатная прямая: на ней отмечают нуль, выбирают единичный отрезок и направление возрастания. Положительным числам соответствуют точки справа от нуля, отрицательным — слева. Чем правее расположена точка, тем больше соответствующее число, поэтому сравнение можно выполнить даже для чисел с разными знаками. Например, −2 меньше 1, потому что точка −2 находится левее точки 1.

Сложение объединяет величины или перемещения, а вычитание показывает разность и заменяется сложением противоположного числа: a − b = a + (−b). При сложении чисел с одинаковыми знаками складывают модули и сохраняют знак, а с разными — вычитают меньший модуль из большего и берут знак числа с большим модулем. Умножение задаёт повторное сложение для натурального множителя, а правила знаков распространяют его на целые числа: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Деление является действием, обратным умножению, но на нуль делить нельзя.

Для сложения и вычитания обыкновенных дробей сначала находят общий знаменатель: он показывает, на сколько равных частей разделено целое. Затем складывают или вычитают числители, а знаменатель оставляют прежним; например, 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2. При умножении перемножают числители и знаменатели, а при делении умножают первую дробь на дробь, обратную второй. В десятичных дробях при сложении и вычитании выравнивают запятые, а при умножении и делении на 10, 100 и другие степени десяти сдвигают запятую соответственно на 1, 2 и больше разрядов.

Порядок действий нужен, чтобы одно выражение давало одинаковый результат у всех, кто его вычисляет. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, а после — сложение и вычитание; равноправные действия выполняют слева направо. Скобки позволяют изменить обычный порядок и явно указать, какую часть нужно вычислить первой. Свойства операций тоже упрощают вычисления: например, переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения помогают менять порядок и группировать слагаемые или множители.

Числовые множества и способы записи чисел

Чтобы определить, к каким множествам относится число, начни с самого узкого подходящего множества и двигайся к более широким. Например, 5 — натуральное, а значит, также целое, рациональное и действительное число. Число √2 — действительное, но не рациональное.

Разбор задач

Сравните −3, 0 и 2 и расположите числа в порядке возрастания.

Порядок возрастания означает, что каждое следующее число должно быть больше предыдущего. Удобно мысленно отметить числа на координатной прямой: отрицательные находятся слева от нуля, положительные — справа. Чем левее точка, тем меньше число, поэтому не нужно сравнивать отрицательные числа только по цифрам без учёта знака.

1. Отметим точку −3 слева от нуля: она находится на три единичных отрезка левее.
2. Точка 0 расположена в начале координат, а точка 2 — на два отрезка справа от нуля.
3. Прочитаем числа слева направо: −3, 0, 2.

Ответ: −3 < 0 < 2.

Вычислите −12 + 7 − (−4).

Сначала преобразуем вычитание отрицательного числа в сложение противоположного: вычесть −4 — значит прибавить 4. После преобразования получаем сумму −12 + 7 + 4. У положительных слагаемых вместе модуль 11, он меньше модуля отрицательного слагаемого 12, поэтому итог будет отрицательным.

1. Заменим вычитание отрицательного числа сложением: −12 + 7 − (−4) = −12 + 7 + 4.
2. Сложим положительные слагаемые: 7 + 4 = 11.
3. Сравним модули: 12 больше 11, значит, вычтем 11 из 12 и поставим знак числа с большим модулем — минус.

Ответ: −1.

Вычислите 2,4 : 0,6 + 3/4 · 8 − (−1,5).

В выражении есть деление, умножение и сложение с вычитанием, поэтому сначала выполняем деление и умножение. Вычитание отрицательного числа превращаем в сложение, но не торопимся объединять все слагаемые до вычисления действий первой ступени. Так знаки и порядок не потеряются.

1. Вычислим деление: 2,4 : 0,6 = 4. При делении обе десятичные дроби можно умножить на 10, получив 24 : 6.
2. Вычислим умножение: 3/4 · 8 = 24/4 = 6.
3. Заменим вычитание отрицательного числа сложением: −(−1,5) означает прибавить 1,5.
4. Сложим полученные значения: 4 + 6 + 1,5 = 11,5.

Ответ: 11,5.

Типичные ошибки

Считать нуль натуральным числом без уточнения соглашения. Так поступают, потому что в разных источниках натуральный ряд могут задавать по-разному. Проверь, с какого числа он начинается в определении, принятом в задании или учебнике. Если ряд начинается с 1, нуль к натуральным не относится.

Сравнивать отрицательные числа по модулю. Можно ошибочно решить, что −8 больше −3, потому что 8 больше 3. Но модуль показывает расстояние до нуля, а не положение числа: на прямой −8 левее −3. Проверяй сравнение расположением точек или помни, что из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше.

Терять знак при вычитании отрицательного числа. Запись a − (−b) иногда по ошибке превращают в a − b, хотя вычитание противоположного числа равносильно прибавлению: a − (−b) = a + b. Такая ошибка возникает, если воспринимать два знака минус как один, не разбирая действие. Подставь простые числа: 5 − (−2) = 7, а не 3.

Складывать или вычитать дроби, складывая их знаменатели. Например, неверно считать, что 1/3 + 1/6 = 2/9: части здесь разного размера, поэтому их нельзя сразу объединить. Сначала приведи дроби к общему знаменателю, затем сложи или вычти числители, сохранив знаменатель. Для проверки представь обе дроби одинаковыми по размеру частями или выполни обратное действие.

Связь с другими темами

Для работы с числами нужны навыки счёта, знание таблицы умножения, понимание дроби и умение ориентироваться на координатной прямой. Если эти основы уверенные, легче выполнять действия с отрицательными числами и дробями и замечать ошибки в вычислениях. Числовые множества понадобятся при решении уравнений и неравенств: там важно понимать, какие значения может принимать неизвестное. Те же вычислительные навыки используются в задачах на проценты, пропорции и преобразование выражений.

Что запомнить

• Каждое натуральное число является целым, рациональным и действительным.
• Рациональное число можно записать в виде дроби m/n, где m — целое, а n — натуральное.
• На координатной прямой меньшее число расположено левее большего.
• При сложении чисел с разными знаками вычитают их модули и ставят знак числа с большим модулем.
• Делить на нуль нельзя.
• Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание.